7. Вычисления и преобразования: вычисление значений степенных выражений

Разложим знаменатель на множители: $$\frac{2^{7.5} \cdot 5^{5.5}}{10^{6.5}} =\frac{2^{7.5} \cdot 5^{5.5}}{2^{6.5} \cdot 5^{6.5}} $$

Сократим полученную дробь: $$\frac{2^{\cancel{7.5}^1} \cdot 5^{\cancel{5.5}}}{2^{\cancel{6.5}} \cdot 5^{\cancel{6.5}^1}} = \frac{2}{5}=0.4$$

Разложим знаменатель на множители: $$\frac{5^{4.5} \cdot 6^{6.5}}{30^{5.5}} =\frac{5^{4.5} \cdot 6^{6.5}}{6^{5.5} \cdot 5^{5.5}} $$

Сократим полученную дробь: $$\frac{5^{\cancel{4.5}} \cdot 6^{\cancel{6.5}^1}}{6^{\cancel{5.5}} \cdot 5^{\cancel{5.5}^1}} = \frac{6}{5}=1.2$$

При делении степеней с одинаковыми основаниями степени вычитаются: $$3^{-\sqrt{2}+11-(6-\sqrt{2})}$$

$$3^{-\sqrt{2}+11-6+\sqrt{2}}=3^5=243$$

Запишем выражение в виде дроби: $$\frac{9^{13} \cdot 19^{11}}{171^{11}} $$

Разложим знаменатель на множители:$$\frac{9^{13} \cdot 19^{11}}{9^{11} \cdot 19^{11}} $$

Сократим полученную дробь:$$\frac{9^{\cancel{13}^2} \cdot 19^{\cancel{11}}}{9^{\cancel{11}} \cdot 19^{\cancel{11}}} = 9 ^2 = 81$$

Запишем выражение в виде дроби: $$\frac{8^{8} \cdot 15^{9}}{120^{8}} $$

Разложим знаменатель на множители:$$\frac{8^{8} \cdot 15^{9}}{8^{8} \cdot 15^{8}} $$

Сократим полученную дробь:$$\frac{8^{\cancel{8}} \cdot 15^{\cancel{9}^1}}{8^{\cancel{8}} \cdot 15^{\cancel{8}}} = 15$$

Представим число $49$ в виде $7$ в степени $2$: $$7^{0.12} \cdot (7^2)^{0.44}$$ $$7^{0.12} \cdot 7^{0.88}$$

При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются: $$7^{0.12} \cdot 7^{0.88}=7^{0.12+0.88}$$ $$7^{0.12+0.88}=7^1=7$$

Представим число $16$ в виде $2$ в степени $4$: $$2^{0.04} \cdot (2^4)^{0.24}$$ $$2^{0.04} \cdot 2^{0.96}$$

При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются: $$2^{0.04} \cdot 2^{0.96}=2^{0.04+0.96}$$ $$2^{0.04+0.96}=2^1=2$$

Представим число $81$ в виде $3$ в степени $4$: $$3^{0.36} \cdot (3^4)^{0.16}$$ $$3^{0.36} \cdot 3^{0.64}$$

При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются: $$3^{0.36} \cdot 3^{0.64}=3^{0.36+0.64}$$ $$3^{0.36+0.64}=3^1=3$$

Представим число $36$ в виде $6$ в степени $2$: $$6^{0.54} \cdot (6^2)^{0.23}$$ $$6^{0.54} \cdot 6^{0.46}$$

При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются: $$6^{0.54} \cdot 6^{0.46}=6^{0.54+0.46}$$ $$6^{0.54+0.46}=6^1=6$$

Представим число $25$ в виде $5$ в степени $2$: $$5^{0.36} \cdot (5^2)^{0.32}$$ $$5^{0.36} \cdot 5^{0.64}$$

При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются: $$5^{0.36} \cdot 5^{0.64}=5^{0.36+0.64}$$ $$5^{0.36+0.64}=5^1=5$$

При возведении степени в степень степени перемножаются: $$(10^{11})^7 : 10^{78}= 10^{77}: 10^{78}$$

При делении степеней с одинаковыми основаниями степени вычитаются: $$10^{77}: 10^{78}=10^{77-78}$$ $$10^{77-78}=10^{-1} = 0.1$$

При возведении степени в степень степени перемножаются: $$(10^{13})^5 : 10^{66}= 10^{65}: 10^{66}$$

При делении степеней с одинаковыми основаниями степени вычитаются: $$10^{65}: 10^{66}=10^{65-66}$$ $$10^{65-66}=10^{-1} = 0.1$$

При возведении степени в степень степени перемножаются: $$5^{11} : (5^{3})^4= 5^{11} : 5^{12}$$

При делении степеней с одинаковыми основаниями степени вычитаются: $$ 5^{11} : 5^{12}=5^{11-12}$$ $$5^{11-12}=5^{-1} = 0.2$$

При возведении степени в степень степени перемножаются: $$(5^{12})^3 : 5^{37}= 5^{36}: 5^{37}$$

При делении степеней с одинаковыми основаниями степени вычитаются: $$5^{36}: 5^{37}=5^{36-37}$$ $$5^{36-37}=5^{-1} = 0.2$$

При возведении степени в степень степени перемножаются: $$(2^{13})^6 : 2^{79}= 2^{78}: 2^{79}$$

При делении степеней с одинаковыми основаниями степени вычитаются: $$2^{78}: 2^{79}=2^{78-79}$$ $$2^{78-79}=2^{-1} = 0.5$$