7. Вычисления и преобразования: все задания

Разложим знаменатель на множители: $$\frac{2^{7.5} \cdot 5^{5.5}}{10^{6.5}} =\frac{2^{7.5} \cdot 5^{5.5}}{2^{6.5} \cdot 5^{6.5}} $$

Сократим полученную дробь: $$\frac{2^{\cancel{7.5}^1} \cdot 5^{\cancel{5.5}}}{2^{\cancel{6.5}} \cdot 5^{\cancel{6.5}^1}} = \frac{2}{5}=0.4$$

Разложим знаменатель на множители: $$\frac{5^{4.5} \cdot 6^{6.5}}{30^{5.5}} =\frac{5^{4.5} \cdot 6^{6.5}}{6^{5.5} \cdot 5^{5.5}} $$

Сократим полученную дробь: $$\frac{5^{\cancel{4.5}} \cdot 6^{\cancel{6.5}^1}}{6^{\cancel{5.5}} \cdot 5^{\cancel{5.5}^1}} = \frac{6}{5}=1.2$$

При делении степеней с одинаковыми основаниями степени вычитаются: $$3^{-\sqrt{2}+11-(6-\sqrt{2})}$$

$$3^{-\sqrt{2}+11-6+\sqrt{2}}=3^5=243$$

Запишем выражение в виде дроби: $$\frac{9^{13} \cdot 19^{11}}{171^{11}} $$

Разложим знаменатель на множители:$$\frac{9^{13} \cdot 19^{11}}{9^{11} \cdot 19^{11}} $$

Сократим полученную дробь:$$\frac{9^{\cancel{13}^2} \cdot 19^{\cancel{11}}}{9^{\cancel{11}} \cdot 19^{\cancel{11}}} = 9 ^2 = 81$$

Запишем выражение в виде дроби: $$\frac{8^{8} \cdot 15^{9}}{120^{8}} $$

Разложим знаменатель на множители:$$\frac{8^{8} \cdot 15^{9}}{8^{8} \cdot 15^{8}} $$

Сократим полученную дробь:$$\frac{8^{\cancel{8}} \cdot 15^{\cancel{9}^1}}{8^{\cancel{8}} \cdot 15^{\cancel{8}}} = 15$$

Занесем множитель $2$ под знак логарифма: $$8^{2\log_{8}9}=8^{\log_{8}9^2}$$

Так как основания степени и логарифма одинаковые, можем воспользоваться определением логарифма: $$8^{\log_{8}9^2}=9^2=81$$

Занесем множитель $2$ под знак логарифма: $$7^{2\log_{7}6}=7^{\log_{7}6^2}$$

Так как основания степени и логарифма одинаковые, можем воспользоваться определением логарифма: $$7^{\log_{7}6^2}=6^2=36$$

Занесем множитель $4$ под знак логарифма: $$4^{4\log_{4}3}=4^{\log_{4}3^4}$$

Так как основания степени и логарифма одинаковые, можем воспользоваться определением логарифма: $$4^{\log_{4}3^4}=3^4=81$$

Занесем множитель $2$ под знак логарифма: $$8^{2\log_{8}11}=8^{\log_{8}11^2}$$

Так как основания степени и логарифма одинаковые, можем воспользоваться определением логарифма: $$8^{\log_{8}11^2}=11^2=121$$

Преобразуем разность согласно свойству логарифмов: $$\log_{3}45-\log_{3}5=\log_{3}45 : 5$$

$$\log_{3}45: 5=\log_{3}9=2$$

Преобразуем разность согласно свойству логарифмов: $$\log_{7}686-\log_{7}2=\log_{7}686 : 2$$

$$\log_{7}686:2 = \log_7 343=3$$

Преобразуем разность согласно свойству логарифмов: $$\log_{2}80-\log_{2}5=\log_{2}80 : 5$$

$$\log_{2}80: 5 = \log_2 16=4$$

Преобразуем разность согласно свойству логарифмов: $$\log_{5}100-\log_{5}4=\log_{5}100 : 4$$

$$\log_{5}100 :4 = \log_5 25=2$$

Преобразуем разность согласно свойству логарифмов: $$\log_{12}432-\log_{12}3=\log_{12}432 :3$$

$$\log_{12}432 : 3= \log_{12} 144=2$$

Представим число $81$ как $9$ в степени $2$: $$\log_{9^2}9$$

Вынесем степень основания за знак логарифма: $$\log_{9^2}9=\frac{1}{2}\log_99$$ $$\frac{1}{2}\log_99=\frac{1}{2}\cdot 1 = 0.5$$

Представим число $16$ как $4$ в степени $2,$ а число $64$ — как $4$ в степени $3$: $$\log_{4^2}4^3$$

Вынесем степени основания и аргумента за знак логарифма: $$\log_{4^2}4^3=\frac{3}{2}\log_44$$ $$\frac{3}{2}\log_44=\frac{3}{2}\cdot 1 = 1.5$$

Представим число $32$ как $2$ в степени $5,$ а число $64$ — как $2$ в степени $6$: $$\log_{2^5}2^6$$

Вынесем степени основания и аргумента за знак логарифма: $$\log_{2^5}2^6=\frac{6}{5}\log_22$$ $$\frac{6}{5}\log_22=\frac{6}{5}\cdot 1 = 1.2$$

Представим число $32$ как $2$ в степени $5,$ а число $ 4$ — как $2$ в степени $2$: $$\log_{2^5}2^2$$

Вынесем степени основания и аргумента за знак логарифма: $$\log_{2^5}2^2=\frac{2}{5}\log_22$$ $$\frac{2}{5}\log_22=\frac{2}{5}\cdot 1 = 0.4$$