7. Вычисления и преобразования: все задания
Найдите значение выражения: $$\frac{2^{7.5} \cdot 5^{5.5}}{10^{6.5}} $$
Разложим знаменатель на множители: $$\frac{2^{7.5} \cdot 5^{5.5}}{10^{6.5}} =\frac{2^{7.5} \cdot 5^{5.5}}{2^{6.5} \cdot 5^{6.5}} $$
Сократим полученную дробь: $$\frac{2^{\cancel{7.5}^1} \cdot 5^{\cancel{5.5}}}{2^{\cancel{6.5}} \cdot 5^{\cancel{6.5}^1}} = \frac{2}{5}=0.4$$
Найдите значение выражения: $$\frac{5^{4.5} \cdot 6^{6.5}}{30^{5.5}} $$
Разложим знаменатель на множители: $$\frac{5^{4.5} \cdot 6^{6.5}}{30^{5.5}} =\frac{5^{4.5} \cdot 6^{6.5}}{6^{5.5} \cdot 5^{5.5}} $$
Сократим полученную дробь: $$\frac{5^{\cancel{4.5}} \cdot 6^{\cancel{6.5}^1}}{6^{\cancel{5.5}} \cdot 5^{\cancel{5.5}^1}} = \frac{6}{5}=1.2$$
Найдите значение выражения: $$4^{-\sqrt{3}+10}:4^{7-\sqrt{3}}$$
При делении степеней с одинаковыми основаниями степени вычитаются: $$4^{-\sqrt{3}+10-(7-\sqrt{3})}$$
$$4^{-\sqrt{3}+10-7+\sqrt{3}}=4^3=64$$
Найдите значение выражения: $$3^{-\sqrt{2}+11}:3^{6-\sqrt{2}}$$
При делении степеней с одинаковыми основаниями степени вычитаются: $$3^{-\sqrt{2}+11-(6-\sqrt{2})}$$
$$3^{-\sqrt{2}+11-6+\sqrt{2}}=3^5=243$$
Найдите значение выражения: $$9^{13} \cdot 19^{11} : 171^{11}$$
Запишем выражение в виде дроби: $$\frac{9^{13} \cdot 19^{11}}{171^{11}} $$
Разложим знаменатель на множители:$$\frac{9^{13} \cdot 19^{11}}{9^{11} \cdot 19^{11}} $$
Сократим полученную дробь:$$\frac{9^{\cancel{13}^2} \cdot 19^{\cancel{11}}}{9^{\cancel{11}} \cdot 19^{\cancel{11}}} = 9 ^2 = 81$$
Найдите значение выражения: $$8^8 \cdot 15^9 : 120^8$$
Запишем выражение в виде дроби: $$\frac{8^{8} \cdot 15^{9}}{120^{8}} $$
Разложим знаменатель на множители:$$\frac{8^{8} \cdot 15^{9}}{8^{8} \cdot 15^{8}} $$
Сократим полученную дробь:$$\frac{8^{\cancel{8}} \cdot 15^{\cancel{9}^1}}{8^{\cancel{8}} \cdot 15^{\cancel{8}}} = 15$$
Найдите значение выражения: $$8^{2\log_{8}9}$$
Занесем множитель $2$ под знак логарифма: $$8^{2\log_{8}9}=8^{\log_{8}9^2}$$
Так как основания степени и логарифма одинаковые, можем воспользоваться определением логарифма: $$8^{\log_{8}9^2}=9^2=81$$
Найдите значение выражения: $$7^{2\log_{7}6}$$
Занесем множитель $2$ под знак логарифма: $$7^{2\log_{7}6}=7^{\log_{7}6^2}$$
Так как основания степени и логарифма одинаковые, можем воспользоваться определением логарифма: $$7^{\log_{7}6^2}=6^2=36$$
Найдите значение выражения: $$9^{2\log_{9}8}$$
Занесем множитель $2$ под знак логарифма: $$9^{2\log_{9}8}=9^{\log_{9}8^2}$$
Так как основания степени и логарифма одинаковые, можем воспользоваться определением логарифма: $$9^{\log_{9}8^2}=8^2=64$$
Найдите значение выражения: $$4^{4\log_{4}3}$$
Занесем множитель $4$ под знак логарифма: $$4^{4\log_{4}3}=4^{\log_{4}3^4}$$
Так как основания степени и логарифма одинаковые, можем воспользоваться определением логарифма: $$4^{\log_{4}3^4}=3^4=81$$
Найдите значение выражения: $$8^{2\log_{8}11}$$
Занесем множитель $2$ под знак логарифма: $$8^{2\log_{8}11}=8^{\log_{8}11^2}$$
Так как основания степени и логарифма одинаковые, можем воспользоваться определением логарифма: $$8^{\log_{8}11^2}=11^2=121$$
Найдите значение выражения: $$\log_{3}45-\log_{3}5$$
Преобразуем разность согласно свойству логарифмов: $$\log_{3}45-\log_{3}5=\log_{3}45 : 5$$
$$\log_{3}45: 5=\log_{3}9=2$$
Найдите значение выражения: $$\log_{7}686-\log_{7}2$$
Преобразуем разность согласно свойству логарифмов: $$\log_{7}686-\log_{7}2=\log_{7}686 : 2$$
$$\log_{7}686:2 = \log_7 343=3$$
Найдите значение выражения: $$\log_{2}80-\log_{2}5$$
Преобразуем разность согласно свойству логарифмов: $$\log_{2}80-\log_{2}5=\log_{2}80 : 5$$
$$\log_{2}80: 5 = \log_2 16=4$$
Найдите значение выражения: $$\log_{5}100-\log_{5}4$$
Преобразуем разность согласно свойству логарифмов: $$\log_{5}100-\log_{5}4=\log_{5}100 : 4$$
$$\log_{5}100 :4 = \log_5 25=2$$
Найдите значение выражения: $$\log_{12}432-\log_{12}3$$
Преобразуем разность согласно свойству логарифмов: $$\log_{12}432-\log_{12}3=\log_{12}432 :3$$
$$\log_{12}432 : 3= \log_{12} 144=2$$
Найдите значение выражения: $$\log_{81}9$$
Представим число $81$ как $9$ в степени $2$: $$\log_{9^2}9$$
Вынесем степень основания за знак логарифма: $$\log_{9^2}9=\frac{1}{2}\log_99$$ $$\frac{1}{2}\log_99=\frac{1}{2}\cdot 1 = 0.5$$
Найдите значение выражения: $$\log_{16}64$$
Представим число $16$ как $4$ в степени $2,$ а число $64$ — как $4$ в степени $3$: $$\log_{4^2}4^3$$
Вынесем степени основания и аргумента за знак логарифма: $$\log_{4^2}4^3=\frac{3}{2}\log_44$$ $$\frac{3}{2}\log_44=\frac{3}{2}\cdot 1 = 1.5$$
Найдите значение выражения: $$\log_{32}64$$
Представим число $32$ как $2$ в степени $5,$ а число $64$ — как $2$ в степени $6$: $$\log_{2^5}2^6$$
Вынесем степени основания и аргумента за знак логарифма: $$\log_{2^5}2^6=\frac{6}{5}\log_22$$ $$\frac{6}{5}\log_22=\frac{6}{5}\cdot 1 = 1.2$$
Найдите значение выражения: $$\log_{32}4$$
Представим число $32$ как $2$ в степени $5,$ а число $ 4$ — как $2$ в степени $2$: $$\log_{2^5}2^2$$
Вынесем степени основания и аргумента за знак логарифма: $$\log_{2^5}2^2=\frac{2}{5}\log_22$$ $$\frac{2}{5}\log_22=\frac{2}{5}\cdot 1 = 0.4$$
Найдите значение выражения: $$\log_{16}128$$
Представим число $16$ как $2$ в степени $4,$ а число $128$ — как $2$ в степени $7$: $$\log_{2^4}2^7$$
Вынесем степени основания и аргумента за знак логарифма: $$\log_{2^4}2^7=\frac{7}{4}\log_22$$ $$\frac{7}{4}\log_22=\frac{7}{4}\cdot 1 = 1.75$$
Найдите значение выражения: $$\log_{3}5.4 + \log_{3}5$$
Преобразуем сумму согласно свойству логарифмов: $$\log_{3}5.4 + \log_{3}5=\log_{3}5.4 \cdot 5$$
$$\log_{3}5.4 \cdot 5=\log_{3}27=3$$
Найдите значение выражения: $$\log_{7}4.9 + \log_{7}10$$
Преобразуем сумму согласно свойству логарифмов: $$\log_{7}4.9 + \log_{7}10=\log_{7}4.9 \cdot 10$$
$$\log_{7}4.9 \cdot 10 = \log_7 49=2$$
Найдите значение выражения: $$\log_{2}12.8 + \log_{2}5$$
Преобразуем сумму согласно свойству логарифмов: $$\log_{2}12.8 + \log_{2}5=\log_{2}12.8 \cdot 5$$
$$\log_{2}12.8 \cdot 5 = \log_2 64=6$$
Найдите значение выражения: $$\log_{5}12.5 + \log_{5}2$$
Преобразуем сумму согласно свойству логарифмов: $$\log_{5}12.5 + \log_{5}2=\log_{5}12.5 \cdot 2$$
$$\log_{5}12.5 \cdot 2 = \log_5 25=2$$
Найдите значение выражения: $$\log_{5}31.25 + \log_{5}4$$
Преобразуем сумму согласно свойству логарифмов: $$\log_{5}31.25 + \log_{5}4=\log_{5}31.25 \cdot 4$$
$$\log_{5}31.25 \cdot 4 = \log_5 125=3$$
Найдите значение выражения: $$ (\sqrt{13} — \sqrt{6})(\sqrt{13}+\sqrt{6})$$
Раскрое скобки по формуле сокращенного умножения: $$(a-b)(a+b) = a^2-b^2$$
$$(\sqrt{13})^2 — (\sqrt{6})^2 = 13-6 = 7$$
Найдите значение выражения: $$ (\sqrt{13} — \sqrt{3})(\sqrt{13}+\sqrt{3})$$
Раскрое скобки по формуле сокращенного умножения: $$(a-b)(a+b) = a^2-b^2$$
$$(\sqrt{13})^2 — (\sqrt{3})^2 = 13-3 = 10$$
Найдите значение выражения: $$ (\sqrt{19} — \sqrt{5})(\sqrt{19}+\sqrt{5})$$
Раскрое скобки по формуле сокращенного умножения: $$(a-b)(a+b) = a^2-b^2$$
$$(\sqrt{19})^2 — (\sqrt{5})^2 = 19-5 = 14$$
Найдите значение выражения: $$ (\sqrt{11} — \sqrt{6})(\sqrt{11}+\sqrt{6})$$
Раскрое скобки по формуле сокращенного умножения: $$(a-b)(a+b) = a^2-b^2$$
$$(\sqrt{11})^2 — (\sqrt{6})^2 = 11-6 = 5$$
Найдите значение выражения: $$ (\sqrt{14} — \sqrt{3})(\sqrt{14}+\sqrt{3})$$
Раскрое скобки по формуле сокращенного умножения: $$(a-b)(a+b) = a^2-b^2$$
$$(\sqrt{14})^2 — (\sqrt{3})^2 = 14-3 = 11$$
Найдите значение выражения: $$5 \cdot \sqrt[4]{216} \cdot \sqrt[12]{216}$$
Представим корни в виде степеней: $$ 5 \cdot 216^{\frac{1}{4}} \cdot 216^{\frac{1}{12}}$$
При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются: $$5 \cdot 216^{\frac{1}{4}+\frac{1}{12}}=5 \cdot 216^{\frac{4}{12}}$$ $$5 \cdot 216^{\frac{4}{12}}= 5 \cdot 216^{\frac{1}{3}}=5 \cdot 6 = 30$$
Найдите значение выражения: $$6 \cdot \sqrt[6]{32} \cdot \sqrt[30]{32}$$
Представим корни в виде степеней: $$ 6 \cdot 32^{\frac{1}{6}} \cdot 32^{\frac{1}{30}}$$
При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются: $$6 \cdot 32^{\frac{1}{6}+\frac{1}{30}}=6 \cdot 32^{\frac{6}{30}}$$ $$6 \cdot 32^{\frac{6}{30}}= 6 \cdot 32^{\frac{1}{5}}=6 \cdot 2 = 12$$
Найдите значение выражения: $$7 \cdot \sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[6]{16}$$
Представим корни в виде степеней: $$ 7 \cdot 16^{\frac{1}{3}} \cdot 16^{\frac{1}{6}}$$
При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются: $$7 \cdot 16^{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=7 \cdot 16^{\frac{3}{6}}$$ $$7 \cdot 16^{\frac{3}{6}}= 7 \cdot 16^{\frac{1}{2}}=7 \cdot 4 = 28$$
Найдите значение выражения: $$5 \cdot \sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[12]{27}$$
Представим корни в виде степеней: $$ 5 \cdot 27^{\frac{1}{4}} \cdot 27^{\frac{1}{12}}$$
При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются: $$5 \cdot 27^{\frac{1}{4}+\frac{1}{12}}=5 \cdot 27^{\frac{4}{12}}$$ $$5 \cdot 27^{\frac{4}{12}}= 5 \cdot 27^{\frac{1}{3}}=5 \cdot 3 = 15$$
Найдите значение выражения: $$11 \cdot \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[6]{9}$$
Представим корни в виде степеней: $$ 11 \cdot 9^{\frac{1}{3}} \cdot 9^{\frac{1}{6}}$$
При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются: $$11 \cdot 9^{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=11 \cdot 9^{\frac{3}{6}}$$ $$11 \cdot 9^{\frac{3}{6}}= 11 \cdot 9^{\frac{1}{2}}=11 \cdot 3 = 33$$
Найдите значение выражения: $$7^{0.12} \cdot 49^{0.44}$$
Представим число $49$ в виде $7$ в степени $2$: $$7^{0.12} \cdot (7^2)^{0.44}$$ $$7^{0.12} \cdot 7^{0.88}$$
При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются: $$7^{0.12} \cdot 7^{0.88}=7^{0.12+0.88}$$ $$7^{0.12+0.88}=7^1=7$$
Найдите значение выражения: $$2^{0.04} \cdot 16^{0.24}$$
Представим число $16$ в виде $2$ в степени $4$: $$2^{0.04} \cdot (2^4)^{0.24}$$ $$2^{0.04} \cdot 2^{0.96}$$
При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются: $$2^{0.04} \cdot 2^{0.96}=2^{0.04+0.96}$$ $$2^{0.04+0.96}=2^1=2$$
Найдите значение выражения: $$3^{0.36} \cdot 81^{0.16}$$
Представим число $81$ в виде $3$ в степени $4$: $$3^{0.36} \cdot (3^4)^{0.16}$$ $$3^{0.36} \cdot 3^{0.64}$$
При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются: $$3^{0.36} \cdot 3^{0.64}=3^{0.36+0.64}$$ $$3^{0.36+0.64}=3^1=3$$
Найдите значение выражения: $$6^{0.54} \cdot 36^{0.23}$$
Представим число $36$ в виде $6$ в степени $2$: $$6^{0.54} \cdot (6^2)^{0.23}$$ $$6^{0.54} \cdot 6^{0.46}$$
При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются: $$6^{0.54} \cdot 6^{0.46}=6^{0.54+0.46}$$ $$6^{0.54+0.46}=6^1=6$$
Найдите значение выражения: $$5^{0.36} \cdot 25^{0.32}$$
Представим число $25$ в виде $5$ в степени $2$: $$5^{0.36} \cdot (5^2)^{0.32}$$ $$5^{0.36} \cdot 5^{0.64}$$
При произведении степеней с одинаковыми основаниями степени складываются: $$5^{0.36} \cdot 5^{0.64}=5^{0.36+0.64}$$ $$5^{0.36+0.64}=5^1=5$$
Найдите значение выражения: $$(10^{11})^7 : 10^{78}$$
При возведении степени в степень степени перемножаются: $$(10^{11})^7 : 10^{78}= 10^{77}: 10^{78}$$
При делении степеней с одинаковыми основаниями степени вычитаются: $$10^{77}: 10^{78}=10^{77-78}$$ $$10^{77-78}=10^{-1} = 0.1$$
Найдите значение выражения: $$(10^{13})^5 : 10^{66}$$
При возведении степени в степень степени перемножаются: $$(10^{13})^5 : 10^{66}= 10^{65}: 10^{66}$$
При делении степеней с одинаковыми основаниями степени вычитаются: $$10^{65}: 10^{66}=10^{65-66}$$ $$10^{65-66}=10^{-1} = 0.1$$
Найдите значение выражения: $$5^{11} : (5^{3})^4$$
При возведении степени в степень степени перемножаются: $$5^{11} : (5^{3})^4= 5^{11} : 5^{12}$$
При делении степеней с одинаковыми основаниями степени вычитаются: $$ 5^{11} : 5^{12}=5^{11-12}$$ $$5^{11-12}=5^{-1} = 0.2$$
Найдите значение выражения: $$(5^{12})^3 : 5^{37}$$
При возведении степени в степень степени перемножаются: $$(5^{12})^3 : 5^{37}= 5^{36}: 5^{37}$$
При делении степеней с одинаковыми основаниями степени вычитаются: $$5^{36}: 5^{37}=5^{36-37}$$ $$5^{36-37}=5^{-1} = 0.2$$
Найдите значение выражения: $$(2^{13})^6 : 2^{79}$$
При возведении степени в степень степени перемножаются: $$(2^{13})^6 : 2^{79}= 2^{78}: 2^{79}$$
При делении степеней с одинаковыми основаниями степени вычитаются: $$2^{78}: 2^{79}=2^{78-79}$$ $$2^{78-79}=2^{-1} = 0.5$$