14. Стереометрическая задача: круглые тела (цилиндр, конус, шар) и их сечения

Дан конус с параметрами:
Радиус основания $R = 5.$
Высота конуса $h = 12.$
Плоскость сечения содержит вершину и хорду длины $6.$

а) Доказательство свойств сечения:

$1.$ Сечение $SAB$ образовано:
Двумя образующими $SA = SB = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13.$
Хордой $AB = 6.$

$2.$ Треугольник равнобедренный $(SA = SB).$

$3.$ Докажем остроугольность:

$$\cos \angle S = \frac{SA^2 + SB^2-AB^2}{2 \cdot SA \cdot SB}$$ $$\cos \angle S = \frac{169 + 169-36}{2 \cdot 13 \cdot 13} = \frac{302}{338} > 0$$
$$\cos \angle A = \frac{SA^2 + AB^2-SB^2}{2 \cdot SA \cdot AB}$$ $$\cos \angle A = \frac{169 + 36-169}{2 \cdot 13 \cdot 6} = \frac{36}{156} > 0 $$ Все углы острые.

$б)$ Вычисление расстояния:

$1.$ Находим элементы треугольников:

$$AH = \frac{AB}{2} = 3.$$ $$OH = \sqrt{OA^2-AH^2} = \sqrt{25-9} = 4.$$ $$SH = \sqrt{SA^2-AH^2} = \sqrt{169-9} = 4\sqrt{10}.$$ $2.$ Расстояние от $O$ до плоскости:
$$OM = \frac{OH \cdot SO}{SH} = \frac{4 \cdot 12}{4\sqrt{10}} = \frac{12}{\sqrt{10}} = \frac{6\sqrt{10}}{5}$$

Ответ:
$а)$ Сечение является равнобедренным остроугольным треугольником.

$б)$ Расстояние равно $\dfrac{6\sqrt{10}}{5}.$

Дан цилиндр:

Образующая перпендикулярна основанию.
На нижнем основании выбраны точки $A$, $B$, $C$ ($AC$ — диаметр).
На верхнем основании — точка $C_1$ ($CC_1$ — образующая).
Дано: $\angle ACB = 30^\circ$, $AB = \sqrt{2}$, $CC_1 = 2.$

$а)$ Доказательство угла между прямыми:

$1.$ Так как $AC$ — диаметр, $\angle ABC = 90^\circ.$

$2.$ Из $\triangle ABC$: $$BC = AB \cdot \tan 60^\circ = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6} $$ $3.$ Построим $BB_1 \parallel CC_1$:

$BB_1C_1C$ — прямоугольник.
Угол между $AC_1$ и $BC$ равен $\angle AC_1B_1.$


$4.$ В $\triangle AB_1C_1$:
$$AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{2 + 4} = \sqrt{6}.$$ $$B_1C_1 = BC = \sqrt{6}.$$ Следовательно, $\angle AC_1B_1 = 45^\circ.$

$б)$ Вычисление объема цилиндра:

$1.$ Найдем диаметр основания: $$AC = \frac{AB}{\sin 30^\circ} = 2\sqrt{2}$$ $2.$ Площадь основания: $$S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{AC}{2}\right)^2 = 2\pi$$ $3.$ Объем цилиндра:$$V = S \cdot h = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$$

Ответ:
$а)$ Угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен $45^\circ.$

$б)$ Объем цилиндра равен $4\pi.$

$а)$  Пусть $BB_1$  — образующая цилиндра. Тогда $BB_1C_1C$  — прямоугольник, поэтому угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен углу $AC_1B_1.$

Угол $ABC$ опирается на диаметр основания цилиндра, поэтому он прямой. Значит, прямая $B_1C_1,$ параллельная прямой $BC,$ перпендикулярная прямым $AB$ и $BB_1.$ Таким образом, прямая $B_1C_1$ перпендикулярна плоскости $ABB_1,$ а значит, угол $AB_1C_1$ прямой.

В прямоугольном треугольнике $AB_1C_1{:}$
$$B_1C_1=BC=\sqrt{3} \cdot AB= \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}=6$$ $$AC=2AB=4\sqrt{3}$$
Тогда $AC_1=\sqrt{AC^2+CC^2_1=12 }$ Таким образом, гипотенуза $AC_1$ прямоугольного треугольника $AB_1C_1$ вдвое больше катета. Следовательно, $\angle B_1AC_1 =30^\circ,$ а искомый $\angle AC_1B_1=60^\circ$

$б)$  Наклонная $C_1B$ перпендикулярна прямой $AB$ по теореме о трех перпендикулярах. Тогда треугольник $АВС_1$ прямоугольный, а искомое расстояние равно длине высоты, проведенной из вершины прямого угла треугольника $ABC_1$ к гипотенузе $АС_1.$ Она равна:
$$ \frac{AB\cdot DC_1}{AC_1}=\frac{2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{33}}{12}=\sqrt{11}$$

Ответ:
$а)$ Доказано, что угол между прямыми $BC$ и $AC_1$ равен $60^\circ.$

$б)$ Расстояние от точки $B$ до $AC_1$ равно $\sqrt{11}.$

$а)$ Пусть $O$ — центр основания конуса, $M$ — середина хорды $AB.$ Дуга $AB$ составляет шестую часть окружности основания, поэтому $\angle AOB = 60^\circ.$ Треугольник $AOB$ равносторонний, следовательно, $AB = AO = 6.$

Треугольник $APB$ — искомое сечение. $AP = PB = 9$ как образующие конуса, поэтому треугольник равнобедренный. Углы при основании $AB$ равны и острые, так как против большей стороны $AP$ лежит больший угол. Угол при вершине $P$ также острый, поскольку $AB < AP$ и $AB < PB.$ Таким образом, треугольник $APB$ — равнобедренный и остроугольный.

$б)$ Отрезок $PM$ — высота треугольника $APB.$ Найдем $AM = \dfrac{AB}{2} = 3.$ Тогда:
$$PM = \sqrt{AP^2 -AM^2} = \sqrt{81- 9} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$$ Площадь сечения:
$$S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot PM = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$$ Ответ:
$а)$ Сечение конуса плоскостью $ABP$ — равнобедренный остроугольный треугольник.
$б)$ Площадь сечения равна $18\sqrt{2}.$

$а)$ Рассмотрим плоскость, проходящую через ось цилиндра и прямую $AC_1.$ Обозначим точку пересечения этой плоскости и окружности основания цилиндра, содержащую точку $A,$ через точку $C.$ Тогда $CC_1$ — образующая цилиндра.

Отрезок $AC$ пересекает ось цилиндра. Значит, он проходит через центр окружности основания цилиндра, то есть является ее диаметром. Следовательно, угол $ABC$ прямой.

Прямая $CC_1$ является образующей цилиндра, поэтому она перпендикулярна прямой $AB.$

Таким образом, прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости $BC_1$ $(BC$ и $CC_1),$ а значит, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $BC_1$ и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и $BC_1.$ Значит, угол $ABC_1$ прямой.

$б)$ Поскольку прямые $BB_1$ и $CC_1$ параллельны, искомый угол равен углу $AC_1C.$ Треугольники $ABC$ и $ACC_1$ являются прямоугольными, поэтому:
$$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{AB^2 + B_1C_1^2} = 10$$ $$\tg \angle AC_1C = \dfrac{AC}{CC_1} = \dfrac{AC}{BB_1} = \dfrac{2}{3}$$ Ответ:

$а)$ Угол $ABC_1$ прямой.
$б)$ $\arctg \dfrac{2}{3}.$

$а)$ Проведем через ось цилиндра и прямую $AC_1$ плоскость. Она пересечет основание с точкой $A$ по диаметру.

Обозначим второй конец этого диаметра через $C.$ Тогда $AC$ — диаметр основания, и угол $ABC$ прямой, так как опирается на диаметр.

Поскольку $CC_1$ — образующая цилиндра, она перпендикулярна плоскости основания, а значит, и прямой $AB.$

Таким образом, $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $BCC_1$: $BC$ и $CC_1.$
Следовательно, $AB$ перпендикулярна всей плоскости $BCC_1,$ включая прямую $BC_1.$ Поэтому угол $ABC_1$ прямой.

$б)$ В прямоугольном треугольнике $ABC$ катеты $AB = 20$ и $BC = B_1C_1 = 21,$ так как основания цилиндра равны. Тогда диаметр основания: $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$$

Радиус основания $R = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{29}{2}.$
Длина окружности основания $L = 2\pi R = 29\pi.$

Площадь боковой поверхности цилиндра: $$S_{\text{бок}} = L \cdot BB_1 = 29\pi \cdot 15 = 435\pi$$ Ответ:
$а)$ Угол $ABC_1$ прямой.
$б)$ $435\pi.$

$а)$ Так как $MN \parallel SB$ и $M$ — середина $SA,$ то по теореме Фалеса $N$ — середина $AB.$ В треугольнике $AOB$
$(OA = OB = 5)$ медиана $ON$ является высотой, так как треугольник равнобедренный. Следовательно, $\angle ANO = 90^\circ.$

$б)$ Пусть $H$ — середина отрезка $AO.$ Тогда $MH$ — средняя линия треугольника $ASO,$ поэтому $MH \parallel SO$ и $MH = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{\sqrt{51}}{2}.$ Так как $SO$ перпендикулярна основанию, то $MH$ также перпендикулярна основанию. Значит, угол между $BM$ и основанием равен углу между $BM$ и ее проекцией на основание, то есть углу $MBH.$

В треугольнике $AOB$ найдем $\cos \angle OAB.$
По теореме косинусов:
$$AB^2 = OA^2 + OB^2 -2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos \angle AOB$$
$$64 = 25 + 25 -50 \cos \angle AOB \Rightarrow \cos \angle AOB = -\dfrac{14}{50} = -\dfrac{7}{25}$$
Но нам нужен $\angle OAB.$ В равнобедренном треугольнике $AOB{:}$
$$\cos \angle OAB = \dfrac{AB/2}{OA} = \dfrac{4}{5}$$

Теперь найдем $BH$ в треугольнике $ABH.$
По теореме косинусов:
$$BH^2 = AH^2 + AB^2 -2 \cdot AH \cdot AB \cdot \cos \angle OAB = \left(\dfrac{5}{2}\right)^2 + 64 -2 \cdot \dfrac{5}{2} \cdot 8 \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{25}{4} + 64 -32 = \dfrac{25}{4} + 32 = \dfrac{153}{4}$$
$$BH = \dfrac{\sqrt{153}}{2}$$

В треугольнике $MHB{:}$
$$\tg \angle MBH = \dfrac{MH}{BH} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{51}}{2}}{\dfrac{\sqrt{153}}{2}} = \dfrac{\sqrt{51}}{\sqrt{153}} = \sqrt{\dfrac{51}{153}} = \sqrt{\dfrac{1}{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$$
Следовательно, $\angle MBH = 30^\circ.$

Ответ:
$а)$ $\angle ANO = 90^\circ.$
$б)$ $30^\circ.$

$а)$ Пусть $O$ — центр основания конуса. Так как $A$ и $C$ диаметрально противоположны, то $O$ — середина $AC.$

Поскольку $M$ — середина $BC,$ то $OM \parallel AB$ $($как средняя линия треугольника $ABC).$
Так как $SO$ перпендикулярна плоскости основания, то $OM$ является проекцией $SM$ на плоскость основания.

Следовательно, угол между $SM$ и плоскостью $ABC$ равен углу между $SM$ и $OM,$ то есть углу $SMO.$
Этот же угол равен углу между $AB$ и плоскостью $SBC,$ так как $AB \parallel OM,$ а $OM$ лежит в плоскости $SBC.$

$б)$ Обозначим искомый угол между прямой $SA$ и плоскостью $SBC$ как $\alpha.$
Тогда $\sin \alpha = \dfrac{h}{SA},$ где $h$ — расстояние от точки $A$ до плоскости $SBC.$
Так как $O$ — середина $AC,$ то расстояние от $O$ до плоскости $SBC$ равно $\dfrac{h}{2}.$

Найдем $SO.$ Для этого сначала найдем $SM.$
В треугольнике $SBC$ образующая $SC = SA = 5\sqrt{2},$ $BC = 8,$ $MC = 4.$
Тогда $SM = \sqrt{SC^2-MC^2} = \sqrt{50-16} = \sqrt{34}.$

В треугольнике $ABC$ $AB = 6,$ $AC = 2R,$ где $R$ — радиус основания.
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$ (так как $AC$ — диаметр):
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{36 + 64} = 10,$ значит $R = 5.$
Тогда $OM = \dfrac{AB}{2} = 3$ (так как $OM$ — средняя линия).

Из треугольника $SOM$ найдем $SO:$
$$SO = \sqrt{SM^2-OM^2} = \sqrt{34-9} = \sqrt{25} = 5$$

Расстояние от $O$ до плоскости $SBC$ можно найти как высоту $OT$ в треугольнике $SOM{:}$
$$\dfrac{h}{2} = \dfrac{SO \cdot OM}{SM} = \dfrac{5 \cdot 3}{\sqrt{34}} = \dfrac{15}{\sqrt{34}}$$
Тогда $h = \dfrac{30}{\sqrt{34}}.$

Теперь найдем $\sin \alpha:$
$$\sin \alpha = \dfrac{h}{SA} = \dfrac{\dfrac{30}{\sqrt{34}}}{5\sqrt{2}} = \dfrac{30}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{34}} = \dfrac{6}{\sqrt{68}} = \dfrac{6}{2\sqrt{17}} = \dfrac{3}{\sqrt{17}}$$
Следовательно, $\alpha = \arcsin \dfrac{3}{\sqrt{17}}.$

Ответ:
$а)$ Прямая $SM$ образует с плоскостью $ABC$ такой же угол, как и прямая $AB$ с плоскостью $SBC.$
$б)$ Угол между прямой $SA$ и плоскостью $SBC$ равен $\arcsin \dfrac{3}{\sqrt{17}}.$

$а)$ Отрезок $MN$ — средняя линия треугольника $ASB,$ поскольку он проходит через середину стороны $AS$ параллельно стороне $BS.$ Поэтому точка $N$ — середина $AB,$ и тогда отрезки $ON$ и $AB$ перпендикулярны, поскольку отрезок $ON$ лежит на диаметре основания конуса, а диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам. Таким образом, угол $ANO$ прямой.

$б)$ Проведем в плоскости $SOA$ отрезок $MH$ параллельно $SO,$ тогда $MH$ — средняя линия треугольника $SOA:$
$MH = \dfrac{1}{2}SO = \dfrac{3\sqrt{41}}{2}.$

Прямая $MH$ перпендикулярна основанию конуса, следовательно, $BH$ — проекция $MB$ на плоскость $BOA,$ а тогда угол между $MB$ и плоскостью основания это угол $MBH.$ Заметим, что $BH$ — медиана треугольника $OBA,$ и воспользуемся формулой для длины медианы:
$$BH = \dfrac{1}{2}\sqrt{2BO^2 + 2AB^2 -OA^2} = \dfrac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 169 + 2 \cdot 100 -169} = \dfrac{1}{2}\sqrt{369} = \dfrac{3\sqrt{41}}{2}$$ Тем самым, треугольник $BHM$ прямоугольный и равнобедренный, поэтому угол $MBH$ равен $45^\circ.$

Ответ:
$а)$ $\angle ANO$ — прямой угол.
$б)$ $45^\circ$ угол между $MB$ и плоскостью основания.

$а)$ Пусть $BB_1$ — образующая цилиндра. Тогда $BB_1C_1C$ — прямоугольник, поэтому угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен углу $AC_1B_1.$

Угол $ABC$ опирается на диаметр основания цилиндра, поэтому он прямой. Значит, прямая $B_1C_1$, параллельная прямой $BC$, перпендикулярна прямым $AB$ и $BB_1$. Таким образом, прямая $B_1C_1$ перпендикулярна плоскости $ABB_1$, а значит, угол $AB_1C_1$ прямой.

В прямоугольном треугольнике $AB_1C_1$:
$$B_1C_1 = BC = \sqrt{3} \cdot AB = \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 6$$ $$AC = 2AB = 4\sqrt{3}$$ Тогда $AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = 12.$ Таким образом, гипотенуза $AC_1$ прямоугольного треугольника $AB_1C_1$ вдвое больше катета. Следовательно, $\angle B_1AC_1 = 30^\circ$, а искомый $\angle AC_1B_1 = 60^\circ.$

$б)$ Наклонная $C_1B$ перпендикулярна прямой $AB$ по теореме о трех перпендикулярах. Тогда треугольник $ABC_1$ прямоугольный, а искомое расстояние равно длине высоты, проведенной из вершины прямого угла треугольника $ABC_1$ к гипотенузе $AC_1$. Она равна:
$$\dfrac{AB \cdot BC_1}{AC_1} = \dfrac{2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{33}}{12} = \sqrt{11}$$ Ответ:
$а)$ Угол между прямыми $BC$ и $AC_1$ равен $60^\circ.$
$б)$ Расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$ равно $\sqrt{11}.$

$а)$ Рассмотрим плоскость, проходящую через ось цилиндра и прямую $AC_1.$ Обозначим точку пересечения этой плоскости и окружности основания цилиндра, содержащую точку $A,$ через точку $C.$ Тогда $CC_1$ — образующая цилиндра. Отрезок $AC$ пересекает ось цилиндра. Значит, он проходит через центр окружности основания цилиндра, то есть является ее диаметром. Следовательно, угол $ABC$ прямой.

Прямая $CC_1$ является образующей цилиндра, поэтому она перпендикулярна прямой $AB.$ Таким образом, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $BCC_1,$ а значит, угол $ABC_1$ прямой.

$б)$ Отрезок $AC$ является диаметром основания цилиндра. Значит, длина окружности основания цилиндра равна: $$\pi \cdot AC = \pi \cdot \sqrt{AB^2 + BC^2} = \pi \cdot \sqrt{AB^2 + B_1C_1^2} = \pi \cdot \sqrt{400 + 441} = 29\pi$$ Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна:
$$29\pi \cdot BB_1 = 29\pi \cdot 15 = 435\pi$$ Ответ:
$а)$ Угол $ABC_1$ прямой.
$б)$ Площадь боковой поверхности цилиндра равна $435\pi.$

$а)$ Пусть точка $C$ — проекция точки $C_1$ на нижнее основание. Тогда $AC$ — проекция $AC_1$ на плоскость нижнего основания. $AC_1$ пересекает ось цилиндра, поэтому и $AC$ тоже. Следовательно, $AC$ является диаметром окружности, а $\angle ABC = 90^\circ,$ поскольку опирается на него. $CB$ является проекцией $C_1B.$ Тогда $C_1B$ перпендикулярно $AB$ по теореме о трех перпендикулярах, то есть $\angle C_1BA = 90^\circ.$

$б)$ $CB = C_1B_1 = 12.$ Тогда по теореме Пифагора для треугольника $ABC$ гипотенуза $AC = \sqrt{AB^2 + CB^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20.$ Следовательно, $S_{\text{бок.}} = 2\pi \cdot \dfrac{AC}{2} \cdot BB_1 = \pi \cdot 20 \cdot 5 = 100\pi.$

Ответ:
$а)$ Угол $C_1BA = 90^\circ.$
$б)$ Площадь боковой поверхности равна $100\pi.$

$а)$ Поскольку медиана $AM$ треугольника $ACS$ пересекает высоту конуса, плоскость $ACS$ содержит высоту конуса. Значит, $AC$ — диаметр основания конуса и $SN$ — его высота.

Медиана $BN$ треугольника $ABC$ перпендикулярна прямой $AC.$ Также отрезок $BN$ перпендикулярен высоте конуса $SN$ как радиус основания. Следовательно, прямая $BN$ перпендикулярна плоскости $ACS,$ а значит, угол $MNB$ прямой.

$б)$ Пусть $K$ — середина отрезка $BC,$ $AS = 2,$ $AC = \sqrt{6}.$ Тогда искомый угол будет равен углу $AMK,$ поскольку средняя линия $MK$ треугольника $BCS$ параллельна прямой $SB,$ $MK = \dfrac{SB}{2} = 1.$

Найдем медиану $AM$ треугольника $ACS{:}$ $$AM = \dfrac{\sqrt{2AS^2 + 2AC^2 -SC^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{2 \cdot 4 + 2 \cdot 6-4}}{2} = \dfrac{\sqrt{8 + 12 -4}}{2} = \dfrac{\sqrt{16}}{2} = 2$$ В прямоугольном треугольнике $ABC$ имеем: $$AB = \sqrt{3}$$ $$BK = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$ $$AK = \sqrt{AB^2 + BK^2} = \sqrt{3 + \dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$$ Применим теперь теорему косинусов к треугольнику $AMK,$ получаем: $$\cos \angle AMK = \dfrac{AM^2 + MK^2 -AK^2}{2 \cdot AM \cdot MK} = \dfrac{4 + 1 -\dfrac{15}{4}}{4} = \dfrac{5- \dfrac{15}{4}}{4} = \dfrac{\dfrac{5}{4}}{4} = \dfrac{5}{16}$$ откуда $\angle AMK = \arccos \dfrac{5}{16}.$

Ответ:
$а)$ Угол $MNB$ прямой.
$б)$ $\arccos \dfrac{5}{16}.$

$а)$ Пусть $O$ — центр основания конуса, $M$ — середина хорды $AB.$ Дуга $AB$ составляет шестую часть окружности основания, поэтому $\angle AOB = 60^\circ.$ Треугольник $AOB$ равносторонний, следовательно, $AB = AO = 6.$

Треугольник $APB$ — искомое сечение. $AP = PB$ как образующие конуса. Треугольник равнобедренный, значит, его углы при основании острые. Но угол $P$ меньше угла $B,$ поскольку он лежит напротив меньшей стороны, поэтому и угол $P$ тоже острый. Таким образом, доказано, что треугольник $APB$ равнобедренный и остроугольный.

$б)$ Отрезок $PM$ — высота треугольника $APB:$
$$PM = \sqrt{AP^2 -AM^2} = \sqrt{81 -9} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$$ Площадь искомого сечения:
$$S = \dfrac{1}{2} \cdot PM \cdot AB = \dfrac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 6 = 18\sqrt{2}$$ Ответ:
$а)$ Сечение конуса плоскостью $ABP$ — равнобедренный остроугольный треугольник.
$б)$ $18\sqrt{2}.$

$а)$ Сечение конуса плоскостью, содержащей его вершину $S$ и хорду $AB = 4,$ — треугольник $ASB.$

Две стороны сечения — это образующие конуса. Они равны, поэтому треугольник $SAB$ равнобедренный. В равных прямоугольных треугольниках $SOA$ и $SOB,$ где $O$ — центр основания конуса, $OA = OB = 6,$ $SO = 8,$ откуда: $$SA = SB = \sqrt{OB^2 + SO^2} = 10$$ Тогда в треугольнике $SAB$ угол $S$ наименьший (поскольку лежит против меньшей стороны), а следовательно, острый. Два других угла равны между собой, поэтому тоже острые. Таким образом, треугольник $SAB$ остроугольный.

$б)$ Пусть $SH$ — высота и медиана равнобедренного треугольника $ASB,$ $SH = \sqrt{SA^2- AH^2} = 4\sqrt{6}.$ Тогда отрезок $OH$ — высота и медиана равнобедренного треугольника $AOB,$ $OH = \sqrt{AO^2-AH^2} = 4\sqrt{2}$

Прямые $SH$ и $OH$ перпендикулярны прямой $AB$, поэтому плоскость $SOH$ перпендикулярна плоскости $ASB$. Следовательно, расстояние от точки $O$ до плоскости $ASB$ равно высоте $OM$ прямоугольного треугольника $SOH$, проведенной к гипотенузе: $$OM = \frac{OH \cdot SO}{SH} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$$ Ответ
$а)$ Сечение является равнобедренным остроугольным треугольником.
$б)$ Расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения равна $\dfrac{8\sqrt{3}}{3}.$