15. Стереометрическая задача: #210579

$а)$ Сечение конуса плоскостью, содержащей его вершину $S$ и хорду $AB = 4,$ — треугольник $ASB.$

Две стороны сечения — это образующие конуса. Они равны, поэтому треугольник $SAB$ равнобедренный. В равных прямоугольных треугольниках $SOA$ и $SOB,$ где $O$ — центр основания конуса, $OA = OB = 6,$ $SO = 8,$ откуда: $$SA = SB = \sqrt{OB^2 + SO^2} = 10$$ Тогда в треугольнике $SAB$ угол $S$ наименьший (поскольку лежит против меньшей стороны), а следовательно, острый. Два других угла равны между собой, поэтому тоже острые. Таким образом, треугольник $SAB$ остроугольный.

$б)$ Пусть $SH$ — высота и медиана равнобедренного треугольника $ASB,$ $SH = \sqrt{SA^2- AH^2} = 4\sqrt{6}.$ Тогда отрезок $OH$ — высота и медиана равнобедренного треугольника $AOB,$ $OH = \sqrt{AO^2-AH^2} = 4\sqrt{2}$.

Прямые $SH$ и $OH$ перпендикулярны прямой $AB$, поэтому плоскость $SOH$ перпендикулярна плоскости $ASB$. Следовательно, расстояние от точки $O$ до плоскости $ASB$ равно высоте $OM$ прямоугольного треугольника $SOH$, проведенной к гипотенузе: $$OM = \frac{OH \cdot SO}{SH} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$$ Ответ
$а)$ Сечение является равнобедренным остроугольным треугольником.
$б)$ Расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения равно $\dfrac{8\sqrt{3}}{3}.$