15. Стереометрическая задача: #210578

$а)$ Рассмотрим произвольную точку $P,$ принадлежащую второму сечению (не проходящему через центр). Рассмотрим прямую, перпендикулярную данным плоскостям и проходящую через центр шара — точку $O$. Пусть эта прямая пересекает второе сечение в точке $B$. Рассмотрим, наконец, еще точку $C$, принадлежащую второму сечению и поверхности шара. Заметим, что $BP^2 = OP^2 -OB^2 \leq OC^2 -OB^2 = BC^2.$ Таким образом, $BP \leq BC,$ поэтому точка $P$ принадлежит кругу с центром $B$ и радиусом $BC$. В обратную сторону: каждая точка круга с центром $B,$ радиусом $BC$ и лежащего во второй плоскости, принадлежит шару. Таким образом, сечение есть круг.

$б)$ Рассмотрим сечение плоскостью, проходящей через центры сечений. $OA$ — радиус шара, тогда $S_1 = \pi \cdot OA^2$ — площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр. $BC$ — радиус меньшего круга, полученного в сечении, тогда $S_2 = \pi \cdot BC^2$ — площадь сечения шара второй плоскостью.

Из отношения площадей сечений получаем:
$$\frac{S_2}{S_1} = 0.84 \Rightarrow \frac{\pi \cdot BC^2}{\pi \cdot OA^2} = 0.84 \Rightarrow \frac{BC^2}{OA^2} = 0,84 \Rightarrow \frac{BC}{OA} = \sqrt{0.84} = \frac{\sqrt{21}}{5}$$ $OB$ — расстояние между плоскостями, равное $2.$

В прямоугольном треугольнике $OBC$: $OC^2 = BC^2 + OB^2$, откуда получаем:
$$OA^2 = \left( \frac{\sqrt{21}}{5} OA \right)^2 + 2^2 \Rightarrow OA^2 = \frac{21}{25} OA^2 + 4 \Rightarrow \frac{4}{25} OA^2 = 4 \Rightarrow OA^2 = 25 \Rightarrow OA = 5$$ Ответ
$а)$ Сечение шара второй плоскостью является кругом.

$б)$ Радиус шара равен $5.$