Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
15. Стереометрическая задача: #210577
Радиус основания конуса с вершиной $P$ равен $6,$ а длина его образующей равна $9.$ На окружности основания конуса выбраны точки $A$ и $B,$ делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как $1:5.$
$а)$ Докажите, что сечение конуса плоскостью $ABP$ — равнобедренный остроугольный треугольник.
$б)$ Найдите площадь сечения конуса плоскостью $ABP.$
$а)$ Пусть $O$ — центр основания конуса, $M$ — середина хорды $AB.$ Дуга $AB$ составляет шестую часть окружности основания, поэтому $\angle AOB = 60^\circ.$ Треугольник $AOB$ равносторонний, следовательно, $AB = AO = 6.$
Треугольник $APB$ — искомое сечение. $AP = PB$ как образующие конуса. Треугольник равнобедренный, значит, его углы при основании острые. Но угол $P$ меньше угла $B,$ поскольку он лежит напротив меньшей стороны, поэтому и угол $P$ тоже острый. Таким образом, доказано, что треугольник $APB$ равнобедренный и остроугольный.
$б)$ Отрезок $PM$ — высота треугольника $APB:$
$$PM = \sqrt{AP^2 -AM^2} = \sqrt{81 -9} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$$ Площадь искомого сечения:
$$S = \dfrac{1}{2} \cdot PM \cdot AB = \dfrac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 6 = 18\sqrt{2}$$ Ответ:
$а)$ Сечение конуса плоскостью $ABP$ — равнобедренный остроугольный треугольник.
$б)$ $18\sqrt{2}.$
20
