15. Стереометрическая задача: #210575

$а)$ Поскольку медиана $AM$ треугольника $ACS$ пересекает высоту конуса, плоскость $ACS$ содержит высоту конуса. Значит, $AC$ — диаметр основания конуса и $SN$ — его высота.

Медиана $BN$ треугольника $ABC$ перпендикулярна прямой $AC.$ Также отрезок $BN$ перпендикулярен высоте конуса $SN$ как радиус основания. Следовательно, прямая $BN$ перпендикулярна плоскости $ACS,$ а значит, угол $MNB$ прямой.

$б)$ Пусть $K$ — середина отрезка $BC,$ $AS = 2,$ $AC = \sqrt{6}.$ Тогда искомый угол будет равен углу $AMK,$ поскольку средняя линия $MK$ треугольника $BCS$ параллельна прямой $SB,$ $MK = \dfrac{SB}{2} = 1.$

Найдем медиану $AM$ треугольника $ACS{:}$ $$AM = \dfrac{\sqrt{2AS^2 + 2AC^2 -SC^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{2 \cdot 4 + 2 \cdot 6-4}}{2} = \dfrac{\sqrt{8 + 12 -4}}{2} = \dfrac{\sqrt{16}}{2} = 2$$ В прямоугольном треугольнике $ABC$ имеем: $$AB = \sqrt{3}$$ $$BK = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$ $$AK = \sqrt{AB^2 + BK^2} = \sqrt{3 + \dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$$ Применим теперь теорему косинусов к треугольнику $AMK,$ получаем: $$\cos \angle AMK = \dfrac{AM^2 + MK^2 -AK^2}{2 \cdot AM \cdot MK} = \dfrac{4 + 1 -\dfrac{15}{4}}{4} = \dfrac{5- \dfrac{15}{4}}{4} = \dfrac{\dfrac{5}{4}}{4} = \dfrac{5}{16}$$ откуда $\angle AMK = \arccos \dfrac{5}{16}.$

Ответ:
$а)$ Угол $MNB$ прямой.
$б)$ $\arccos \dfrac{5}{16}.$