Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
15. Стереометрическая задача: #210573
В цилиндре на окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B,$ а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1,$ причем $BB_1$ — образующая цилиндра, а $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
$а)$ Докажите, что угол $C_1BA = 90^\circ.$
$б)$ Найдите площадь боковой поверхности, если $AB = 16,$ $BB_1 = 5,$ $B_1C_1 = 12.$
$а)$ Пусть точка $C$ — проекция точки $C_1$ на нижнее основание. Тогда $AC$ — проекция $AC_1$ на плоскость нижнего основания. $AC_1$ пересекает ось цилиндра, поэтому и $AC$ тоже. Следовательно, $AC$ является диаметром окружности, а $\angle ABC = 90^\circ,$ поскольку опирается на него. $CB$ является проекцией $C_1B.$ Тогда $C_1B$ перпендикулярно $AB$ по теореме о трех перпендикулярах, то есть $\angle C_1BA = 90^\circ.$
$б)$ $CB = C_1B_1 = 12.$ Тогда по теореме Пифагора для треугольника $ABC$ гипотенуза $AC = \sqrt{AB^2 + CB^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20.$ Следовательно, $S_{\text{бок.}} = 2\pi \cdot \dfrac{AC}{2} \cdot BB_1 = \pi \cdot 20 \cdot 5 = 100\pi.$
Ответ:
$а)$ Угол $C_1BA = 90^\circ.$
$б)$ Площадь боковой поверхности равна $100\pi.$
20
