Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
15. Стереометрическая задача: #210572
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B,$ а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1,$ причем $BB_1$ — образующая цилиндра, а отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
$а)$ Докажите, что угол $ABC_1$ прямой.
$б)$ Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если $AB = 20,$ $BB_1 = 15,$ $B_1C_1 = 21.$
$а)$ Рассмотрим плоскость, проходящую через ось цилиндра и прямую $AC_1.$ Обозначим точку пересечения этой плоскости и окружности основания цилиндра, содержащей точку $A,$ через точку $C.$ Тогда $CC_1$ — образующая цилиндра. Отрезок $AC$ пересекает ось цилиндра. Значит, он проходит через центр окружности основания цилиндра, то есть является ее диаметром. Следовательно, угол $ABC$ прямой.
Прямая $CC_1$ является образующей цилиндра, поэтому она перпендикулярна прямой $AB.$ Таким образом, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $BCC_1,$ а значит, угол $ABC_1$ прямой.
$б)$ Отрезок $AC$ является диаметром основания цилиндра. Значит, длина окружности основания цилиндра равна: $$\pi \cdot AC = \pi \cdot \sqrt{AB^2 + BC^2} = \pi \cdot \sqrt{AB^2 + B_1C_1^2} = \pi \cdot \sqrt{400 + 441} = 29\pi$$ Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна:
$$29\pi \cdot BB_1 = 29\pi \cdot 15 = 435\pi$$ Ответ:
$а)$ Угол $ABC_1$ прямой.
$б)$ Площадь боковой поверхности цилиндра равна $435\pi.$
20
