Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
15. Стереометрическая задача: #210571
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A, B$ и $C,$ а на окружности другого основания — точка $C_1,$ причем $CC_1$ — образующая цилиндра, а $AC$ — диаметр основания. Известно, что $\angle ACB = 30^\circ,$ $AB = 2\sqrt{3},$ $CC_1 = 4\sqrt{6}.$
$а)$ Докажите, что угол между прямыми $BC$ и $AC_1$ равен $60^\circ.$
$б)$ Найдите расстояние от точки $B$ до $AC_1.$
$а)$ Пусть $BB_1$ — образующая цилиндра. Тогда $BB_1C_1C$ — прямоугольник, поэтому угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен углу $AC_1B_1.$
Угол $ABC$ опирается на диаметр основания цилиндра, поэтому он прямой. Значит, прямая $B_1C_1$, параллельная прямой $BC$, перпендикулярна прямым $AB$ и $BB_1$. Таким образом, прямая $B_1C_1$ перпендикулярна плоскости $ABB_1$, а значит, угол $AB_1C_1$ прямой.
В прямоугольном треугольнике $AB_1C_1$:
$$B_1C_1 = BC = \sqrt{3} \cdot AB = \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 6$$ $$AC = 2AB = 4\sqrt{3}$$ Тогда $AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = 12.$ Таким образом, гипотенуза $AC_1$ прямоугольного треугольника $AB_1C_1$ вдвое больше катета. Следовательно, $\angle B_1AC_1 = 30^\circ$, а искомый $\angle AC_1B_1 = 60^\circ.$
$б)$ Наклонная $C_1B$ перпендикулярна прямой $AB$ по теореме о трех перпендикулярах. Тогда треугольник $ABC_1$ прямоугольный, а искомое расстояние равно длине высоты, проведенной из вершины прямого угла треугольника $ABC_1$ к гипотенузе $AC_1$. Она равна:
$$\dfrac{AB \cdot BC_1}{AC_1} = \dfrac{2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{33}}{12} = \sqrt{11}$$ Ответ:
$а)$ Угол между прямыми $BC$ и $AC_1$ равен $60^\circ.$
$б)$ Расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$ равно $\sqrt{11}.$
20
