Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
15. Стереометрическая задача: #210570
В конусе с вершиной $S$ и центром основания $O$ радиус основания равен $13,$ а высота равна $3\sqrt{41}.$ Точки $A$ и $B$ — концы образующих, $M$ — середина $SA,$ $N$ — точка в плоскости основания такая, что прямая $MN$ параллельна прямой $SB.$
$а)$ Докажите, что $\angle ANO$ — прямой угол.
$б)$ Найдите угол между $MB$ и плоскостью основания, если дополнительно известно, что $AB = 10.$
$а)$ Отрезок $MN$ — средняя линия треугольника $ASB,$ поскольку он проходит через середину стороны $AS$ параллельно стороне $BS.$ Поэтому точка $N$ — середина $AB,$ и тогда отрезки $ON$ и $AB$ перпендикулярны, поскольку отрезок $ON$ лежит на диаметре основания конуса, а диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам. Таким образом, угол $ANO$ прямой.
$б)$ Проведем в плоскости $SOA$ отрезок $MH$ параллельно $SO,$ тогда $MH$ — средняя линия треугольника $SOA:$
$MH = \dfrac{1}{2}SO = \dfrac{3\sqrt{41}}{2}.$
Прямая $MH$ перпендикулярна основанию конуса, следовательно, $BH$ — проекция $MB$ на плоскость $BOA,$ а тогда угол между $MB$ и плоскостью основания — это угол $MBH.$ Заметим, что $BH$ — медиана треугольника $OBA,$ и воспользуемся формулой для длины медианы:
$$BH = \dfrac{1}{2}\sqrt{2BO^2 + 2AB^2 -OA^2} = \dfrac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 169 + 2 \cdot 100 -169} = \dfrac{1}{2}\sqrt{369} = \dfrac{3\sqrt{41}}{2}$$ Тем самым треугольник $BHM$ прямоугольный и равнобедренный, поэтому угол $MBH$ равен $45^\circ.$
Ответ:
$а)$ $\angle ANO$ — прямой угол.
$б)$ $45^\circ$ — угол между $MB$ и плоскостью основания.
20
