15. Стереометрическая задача: #210569

$а)$ Пусть $O$ — центр основания конуса. Так как $A$ и $C$ диаметрально противоположны, то $O$ — середина $AC.$

Поскольку $M$ — середина $BC,$ то $OM \parallel AB$ $($как средняя линия треугольника $ABC).$
Так как $SO$ перпендикулярна плоскости основания, то $OM$ является проекцией $SM$ на плоскость основания.

Следовательно, угол между $SM$ и плоскостью $ABC$ равен углу между $SM$ и $OM,$ то есть углу $SMO.$
Этот же угол равен углу между $AB$ и плоскостью $SBC,$ так как $AB \parallel OM,$ а $OM$ лежит в плоскости $SBC.$

$б)$ Обозначим искомый угол между прямой $SA$ и плоскостью $SBC$ как $\alpha.$
Тогда $\sin \alpha = \dfrac{h}{SA},$ где $h$ — расстояние от точки $A$ до плоскости $SBC.$
Так как $O$ — середина $AC,$ то расстояние от $O$ до плоскости $SBC$ равно $\dfrac{h}{2}.$

Найдем $SO.$ Для этого сначала найдем $SM.$
В треугольнике $SBC$ образующая $SC = SA = 5\sqrt{2},$ $BC = 8,$ $MC = 4.$
Тогда $SM = \sqrt{SC^2-MC^2} = \sqrt{50-16} = \sqrt{34}.$

В треугольнике $ABC$ $AB = 6,$ $AC = 2R,$ где $R$ — радиус основания.
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$ (так как $AC$ — диаметр):
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{36 + 64} = 10,$ значит $R = 5.$
Тогда $OM = \dfrac{AB}{2} = 3$ (так как $OM$ — средняя линия).

Из треугольника $SOM$ найдем $SO:$
$$SO = \sqrt{SM^2-OM^2} = \sqrt{34-9} = \sqrt{25} = 5$$

Расстояние от $O$ до плоскости $SBC$ можно найти как высоту $OT$ в треугольнике $SOM{:}$
$$\dfrac{h}{2} = \dfrac{SO \cdot OM}{SM} = \dfrac{5 \cdot 3}{\sqrt{34}} = \dfrac{15}{\sqrt{34}}$$
Тогда $h = \dfrac{30}{\sqrt{34}}.$

Теперь найдем $\sin \alpha:$
$$\sin \alpha = \dfrac{h}{SA} = \dfrac{\dfrac{30}{\sqrt{34}}}{5\sqrt{2}} = \dfrac{30}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{34}} = \dfrac{6}{\sqrt{68}} = \dfrac{6}{2\sqrt{17}} = \dfrac{3}{\sqrt{17}}$$
Следовательно, $\alpha = \arcsin \dfrac{3}{\sqrt{17}}.$

Ответ:
$а)$ Прямая $SM$ образует с плоскостью $ABC$ такой же угол, как и прямая $AB$ с плоскостью $SBC.$
$б)$ Угол между прямой $SA$ и плоскостью $SBC$ равен $\arcsin \dfrac{3}{\sqrt{17}}.$