Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
15. Стереометрическая задача: #210552
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B,$ а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1,$ причем $BB_1$ — образующая цилиндра, а отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
$а)$ Докажите, что угол $ABC_1$ прямой.
$б)$ Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если $AB = 20,$ $BB_1 = 15,$ $B_1C_1 = 21.$
$а)$ Проведем через ось цилиндра и прямую $AC_1$ плоскость. Она пересечет основание с точкой $A$ по диаметру.
Обозначим второй конец этого диаметра через $C.$ Тогда $AC$ — диаметр основания, и угол $ABC$ прямой, так как опирается на диаметр.
Поскольку $CC_1$ — образующая цилиндра, она перпендикулярна плоскости основания, а значит, и прямой $AB.$
Таким образом, $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $BCC_1$: $BC$ и $CC_1.$
Следовательно, $AB$ перпендикулярна всей плоскости $BCC_1,$ включая прямую $BC_1.$ Поэтому угол $ABC_1$ прямой.
$б)$ В прямоугольном треугольнике $ABC$ катеты $AB = 20$ и $BC = B_1C_1 = 21,$ так как основания цилиндра равны. Тогда диаметр основания: $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$$
Радиус основания $R = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{29}{2}.$
Длина окружности основания $L = 2\pi R = 29\pi.$
Площадь боковой поверхности цилиндра: $$S_{\text{бок}} = L \cdot BB_1 = 29\pi \cdot 15 = 435\pi$$ Ответ:
$а)$ Угол $ABC_1$ прямой.
$б)$ $435\pi.$
20
