Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
15. Стереометрическая задача: #210551
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B,$ а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1,$ причем $BB_1$ — образующая цилиндра, а отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
$а)$ Докажите, что угол $ABC_1$ прямой.
$б)$ Найдите угол между прямыми $BB_1$ и $AC_1,$ если $AB = 6,$ $BB_1 = 15,$ $B_1C_1 = 8.$
$а)$ Рассмотрим плоскость, проходящую через ось цилиндра и прямую $AC_1.$ Обозначим точку пересечения этой плоскости и окружности основания цилиндра, содержащей точку $A,$ через точку $C.$ Тогда $CC_1$ — образующая цилиндра.
Отрезок $AC$ пересекает ось цилиндра. Значит, он проходит через центр окружности основания цилиндра, то есть является ее диаметром. Следовательно, угол $ABC$ прямой.
Прямая $CC_1$ является образующей цилиндра, поэтому она перпендикулярна прямой $AB.$
Таким образом, прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости $BC_1$ $(BC$ и $CC_1),$ а значит, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $BC_1$ и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и $BC_1.$ Значит, угол $ABC_1$ прямой.
$б)$ Поскольку прямые $BB_1$ и $CC_1$ параллельны, искомый угол равен углу $AC_1C.$ Треугольники $ABC$ и $ACC_1$ являются прямоугольными, поэтому:
$$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{AB^2 + B_1C_1^2} = 10$$ $$\tg \angle AC_1C = \dfrac{AC}{CC_1} = \dfrac{AC}{BB_1} = \dfrac{2}{3}$$ Ответ:
$а)$ Угол $ABC_1$ прямой.
$б)$ $\arctg \dfrac{2}{3}.$
20
