Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
15. Стереометрическая задача: #210548
Радиус основания конуса с вершиной $P$ равен $6,$ а длина его образующей равна $9.$ На окружности основания конуса выбраны точки $A$ и $B,$ делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как $1 : 5.$
$а)$ Докажите, что сечение конуса плоскостью $ABP$ — равнобедренный остроугольный треугольник.
$б)$ Найдите площадь сечения конуса плоскостью $ABP.$
$а)$ Пусть $O$ — центр основания конуса, $M$ — середина хорды $AB.$ Дуга $AB$ составляет шестую часть окружности основания, поэтому $\angle AOB = 60^\circ.$ Треугольник $AOB$ равносторонний, следовательно, $AB = AO = 6.$
Треугольник $APB$ — искомое сечение. $AP = PB = 9$ как образующие конуса, поэтому треугольник равнобедренный. Углы при основании $AB$ равны и острые, так как против большей стороны $AP$ лежит больший угол. Угол при вершине $P$ также острый, поскольку $AB < AP$ и $AB < PB.$ Таким образом, треугольник $APB$ — равнобедренный и остроугольный.
$б)$ Отрезок $PM$ — высота треугольника $APB.$ Найдем $AM = \dfrac{AB}{2} = 3.$ Тогда:
$$PM = \sqrt{AP^2 -AM^2} = \sqrt{81- 9} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$$ Площадь сечения:
$$S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot PM = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$$ Ответ:
$а)$ Сечение конуса плоскостью $ABP$ — равнобедренный остроугольный треугольник.
$б)$ Площадь сечения равна $18\sqrt{2}.$
20
