Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
15. Стереометрическая задача: #195843
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A, B и C,$ а на окружности другого основания — точка $C_1$, причем $CC_1$ — образующая цилиндра, а $AC$ — диаметр основания. Известно, что $\angle ACB=30^\circ$, $AB=2\sqrt{3},$ $CC_1=2\sqrt{3}.$
$а)$ Докажите, что угол между прямыми $BC$ и $AC_1$ равен $60^\circ.$
$б)$ Найдите расстояние от точки $B$ до $AC_1.$
$а)$ Пусть $BB_1$ — образующая цилиндра. Тогда $BB_1C_1C$ — прямоугольник, поэтому угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен углу $AC_1B_1.$
Угол $ABC$ опирается на диаметр основания цилиндра, поэтому он прямой. Значит, прямая $B_1C_1,$ параллельная прямой $BC,$ перпендикулярна прямым $AB$ и $BB_1.$ Таким образом, прямая $B_1C_1$ перпендикулярна плоскости $ABB_1,$ а значит, угол $AB_1C_1$ прямой.
В прямоугольном треугольнике $AB_1C_1{:}$
$$B_1C_1=BC=\sqrt{3} \cdot AB= \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}=6$$ $$AC=2AB=4\sqrt{3}$$
Тогда $AC_1=\sqrt{AC^2+CC^2_1=12 }$. Таким образом, гипотенуза $AC_1$ прямоугольного треугольника $AB_1C_1$ вдвое больше катета. Следовательно, $\angle B_1AC_1 =30^\circ,$ а искомый $\angle AC_1B_1=60^\circ$.
$б)$ Наклонная $C_1B$ перпендикулярна прямой $AB$ по теореме о трех перпендикулярах. Тогда треугольник $АВС_1$ прямоугольный, а искомое расстояние равно длине высоты, проведенной из вершины прямого угла треугольника $ABC_1$ к гипотенузе $АС_1.$ Она равна:
$$ \frac{AB\cdot DC_1}{AC_1}=\frac{2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{33}}{12}=\sqrt{11}$$
Ответ:
$а)$ Доказано, что угол между прямыми $BC$ и $AC_1$ равен $60^\circ.$
$б)$ Расстояние от точки $B$ до $AC_1$ равно $\sqrt{11}.$
20
