15. Стереометрическая задача: #195834

Дан цилиндр:

Образующая перпендикулярна основанию.
На нижнем основании выбраны точки $A$, $B$, $C$ ($AC$ — диаметр).
На верхнем основании — точка $C_1$ ($CC_1$ — образующая).
Дано: $\angle ACB = 30^\circ$, $AB = \sqrt{2}$, $CC_1 = 2.$

$а)$ Доказательство угла между прямыми:

$1.$ Так как $AC$ — диаметр, $\angle ABC = 90^\circ.$

$2.$ Из $\triangle ABC$: $$BC = AB \cdot \tan 60^\circ = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6} $$ $3.$ Построим $BB_1 \parallel CC_1$:

$BB_1C_1C$ — прямоугольник.
Угол между $AC_1$ и $BC$ равен $\angle AC_1B_1.$


$4.$ В $\triangle AB_1C_1$:
$$AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{2 + 4} = \sqrt{6}.$$ $$B_1C_1 = BC = \sqrt{6}.$$ Следовательно, $\angle AC_1B_1 = 45^\circ.$

$б)$ Вычисление объема цилиндра:

$1.$ Найдем диаметр основания: $$AC = \frac{AB}{\sin 30^\circ} = 2\sqrt{2}$$ $2.$ Площадь основания: $$S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{AC}{2}\right)^2 = 2\pi$$ $3.$ Объем цилиндра:$$V = S \cdot h = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$$

Ответ:
$а)$ Угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен $45^\circ.$

$б)$ Объем цилиндра равен $4\pi.$