15. Стереометрическая задача: #195833

Дан конус с параметрами:
Радиус основания $R = 5.$
Высота конуса $h = 12.$
Плоскость сечения содержит вершину и хорду длины $6.$

а) Доказательство свойств сечения:

$1.$ Сечение $SAB$ образовано:
Двумя образующими $SA = SB = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13.$
Хордой $AB = 6.$

$2.$ Треугольник равнобедренный $(SA = SB).$

$3.$ Докажем остроугольность:

$$\cos \angle S = \frac{SA^2 + SB^2-AB^2}{2 \cdot SA \cdot SB}$$ $$\cos \angle S = \frac{169 + 169-36}{2 \cdot 13 \cdot 13} = \frac{302}{338} > 0$$
$$\cos \angle A = \frac{SA^2 + AB^2-SB^2}{2 \cdot SA \cdot AB}$$ $$\cos \angle A = \frac{169 + 36-169}{2 \cdot 13 \cdot 6} = \frac{36}{156} > 0 $$ Все углы острые.

$б)$ Вычисление расстояния:

$1.$ Находим элементы треугольников:

$$AH = \frac{AB}{2} = 3.$$ $$OH = \sqrt{OA^2-AH^2} = \sqrt{25-9} = 4.$$ $$SH = \sqrt{SA^2-AH^2} = \sqrt{169-9} = 4\sqrt{10}.$$ $2.$ Расстояние от $O$ до плоскости:
$$OM = \frac{OH \cdot SO}{SH} = \frac{4 \cdot 12}{4\sqrt{10}} = \frac{12}{\sqrt{10}} = \frac{6\sqrt{10}}{5}$$

Ответ:
$а)$ Сечение является равнобедренным остроугольным треугольником.

$б)$ Расстояние равно $\dfrac{6\sqrt{10}}{5}.$