12. Наибольшее и наименьшее значение функций: Исследование логарифмических функций
Найдите точку максимума функции $y=\ln(x+5)-2x+10.$
Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x+5>0$$ $$x>-5$$Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{1}{x+5}-2$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{1}{x+5}-2=0$$ $$\frac{1}{x+5}=2$$ $$1=2x+10$$ $$2x=-9$$ $$x=-4.5$$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(-5;-4.5),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(-4.5;\infty).$На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=-4.5$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=\ln(x+5)-2x+10.$
Найдите точку максимума функции $y=\ln(x+6)-4x+8.$
Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x+6>0$$ $$x>-6$$Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{1}{x+6}-4$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{1}{x+6}-4=0$$ $$\frac{1}{x+6}=4$$ $$1=4x+24$$ $$4x=-23$$ $$x=-5.75$$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(-6;-5.75),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(-5.75;\infty).$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=-5.75$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=\ln(x+6)-4x+8.$
Найдите наименьшее значение функции $$y=4x-4\ln(x+7)+6$$ на отрезке $[-6.5;0].$
Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x+7>0$$ $$x>-7$$Найдем производную данной функции: $$f'(x)=4-\frac{4}{x+7}$$ Приравняем производную к нулю: $$4-\frac{4}{x+7}=0$$ $$\frac{4}{x+7}=4$$ $$4=4x+28$$ $$4x=-24$$ $$x=-6$$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной на промежутке $[-6.5;0]$: $f'(x)<0$ на промежутке $[-6.5;6),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-6;0].$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=-6$ — это точка минимума функции.
Найдем значение функции $y=4x-4\ln(x+7)+6$ в данной точке: $$y=4\cdot(-6)-4\ln(-6+7)+6=-18$$
Найдите наименьшее значение функции $$y=9x-9\ln(x+11)+20$$ на отрезке $[-10.5;0].$
Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x+11>0$$ $$x>-11$$Найдем производную данной функции: $$f'(x)=9-\frac{9}{x+11}$$ Приравняем производную к нулю: $$9-\frac{9}{x+11}=0$$ $$\frac{9}{x+11}=9$$ $$9=9x+99$$ $$9x=-90$$ $$x=-10$$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной на промежутке $[-10.5;0]$: $f'(x)<0$ на промежутке $[-10.5;-10),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-10;0].$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=-10$ — это точка минимума функции.
Найдем значение функции $y=9x-9\ln(x+11)+20$ в данной точке: $$y=9\cdot(-10)-9\ln(-10+11)+20=-70$$
Найдите точку максимума функции $y=2x^2-13x+9\ln{x}+8.$
Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x>0$$ Найдем производную данной функции: $$f'(x)=4x-13+\frac{9}{x}$$ Приравняем производную к нулю: $$4x-13+\frac{9}{x}=0$$ $$4x^2-13x+9=0$$ $$x_1=1$$ $$x_2=2.25$$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(0;1)\cup(2.25;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(1;2.25).$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=1$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=2x^2-13x+9\ln{x}+8.$
Найдите точку максимума функции $y=0.5x^2-27x+50\ln{x}+5.$
Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x>0$$ Найдем производную данной функции: $$f'(x)=x-27+\frac{50}{x}$$ Приравняем производную к нулю: $$x-27+\frac{50}{x}=0$$ $$x^2-27x+50=0$$ $$x_1=2$$ $$x_2=25$$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(0;2)\cup(25;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(2;25).$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=2$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=0.5x^2-27x+50\ln{x}+5.$