12. Наибольшее и наименьшее значение функций: Исследование логарифмических функций

Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x+5>0$$ $$x>-5$$Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{1}{x+5}-2$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{1}{x+5}-2=0$$ $$\frac{1}{x+5}=2$$ $$1=2x+10$$ $$2x=-9$$ $$x=-4.5$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(-5;-4.5),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(-4.5;\infty).$На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=-4.5$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=\ln(x+5)-2x+10.$

Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x+6>0$$ $$x>-6$$Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{1}{x+6}-4$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{1}{x+6}-4=0$$ $$\frac{1}{x+6}=4$$ $$1=4x+24$$ $$4x=-23$$ $$x=-5.75$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(-6;-5.75),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(-5.75;\infty).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=-5.75$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=\ln(x+6)-4x+8.$

Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x+7>0$$ $$x>-7$$Найдем производную данной функции: $$f'(x)=4-\frac{4}{x+7}$$ Приравняем производную к нулю: $$4-\frac{4}{x+7}=0$$ $$\frac{4}{x+7}=4$$ $$4=4x+28$$ $$4x=-24$$ $$x=-6$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной на промежутке $[-6.5;0]$: $f'(x)<0$ на промежутке $[-6.5;6),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-6;0].$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=-6$ — это точка минимума функции.

Найдем значение функции $y=4x-4\ln(x+7)+6$ в данной точке: $$y=4\cdot(-6)-4\ln(-6+7)+6=-18$$

Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x+11>0$$ $$x>-11$$Найдем производную данной функции: $$f'(x)=9-\frac{9}{x+11}$$ Приравняем производную к нулю: $$9-\frac{9}{x+11}=0$$ $$\frac{9}{x+11}=9$$ $$9=9x+99$$ $$9x=-90$$ $$x=-10$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной на промежутке $[-10.5;0]$: $f'(x)<0$ на промежутке $[-10.5;-10),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-10;0].$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=-10$ — это точка минимума функции.

Найдем значение функции $y=9x-9\ln(x+11)+20$ в данной точке: $$y=9\cdot(-10)-9\ln(-10+11)+20=-70$$

Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x>0$$ Найдем производную данной функции: $$f'(x)=4x-13+\frac{9}{x}$$ Приравняем производную к нулю: $$4x-13+\frac{9}{x}=0$$ $$4x^2-13x+9=0$$ $$x_1=1$$ $$x_2=2.25$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(0;1)\cup(2.25;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(1;2.25).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=1$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=2x^2-13x+9\ln{x}+8.$

Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x>0$$ Найдем производную данной функции: $$f'(x)=x-27+\frac{50}{x}$$ Приравняем производную к нулю: $$x-27+\frac{50}{x}=0$$ $$x^2-27x+50=0$$ $$x_1=2$$ $$x_2=25$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(0;2)\cup(25;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(2;25).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=2$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=0.5x^2-27x+50\ln{x}+5.$

Область определения.
Выражение под логарифмом должно быть положительным: $x > 0.$
Таким образом, область определения: $(0; +\infty).$

Найдем производную функции:
$$y’ = (2x^2)’- (25x)’ + (39 \ln x)’- (54)’ = 4x- 25 + \dfrac{39}{x}$$
Приведем к общему знаменателю:
$$y’ = \dfrac{4x^2- 25x + 39}{x}$$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
Так как знаменатель $x > 0,$ достаточно решить:
$$4x^2- 25x + 39 = 0$$
Решим квадратное уравнение:
$$D = (-25)^2- 4 \cdot 4 \cdot 39 = 625- 624 = 1$$
$$x = \dfrac{25 \pm 1}{8} \Rightarrow x_1 = \dfrac{24}{8} = 3, \quad x_2 = \dfrac{26}{8} = 3.25$$
Оба корня принадлежат области определения $(0; +\infty).$

Определим знак производной на интервалах:
Разобьем область определения на интервалы: $(0; 3),$ $(3; 3.25),$ $(3.25; +\infty).$

• При $x \in (0; 3)$ $($например, $x = 1){:}$
  Числитель: $4 \cdot 1- 25 + 39 = 18 > 0,$ знаменатель $x > 0$ $\Rightarrow$ $y’ > 0$ (функция возрастает).
• При $x \in (3; 3.25)$ $($например, $x = 3.1){:}$
  Числитель: $4 \cdot (3.1)^2- 25 \cdot 3.1 + 39 \approx 38.44- 77.5 + 39 = -0.06 < 0,$ знаменатель $x > 0$ $\Rightarrow$ $y’ < 0$ (функция убывает).
• При $x \in (3.25; +\infty)$ $($например, $x = 4){:}$
  Числитель: $4 \cdot 16- 25 \cdot 4 + 39 = 64- 100 + 39 = 3 > 0,$ знаменатель $x > 0$ $\Rightarrow$ $y’ > 0$ (функция возрастает).

Таким образом:

В точке $x = 3$ производная меняет знак с $+$ на $-,$ значит, это точка максимума.

В точке $x = 3.25$ производная меняет знак с $-$ на $+,$ значит, это точка минимума.

Ответ: точка максимума $x = 3.$

Область определения.
Выражение под логарифмом должно быть положительным: $x > 0.$
Отрезок $[0.3; 3]$ полностью входит в область определения.

Найдем производную функции:
$$y’ = (4x^2)’- (10x)’ + (2\ln x)’- (5)’ = 8x- 10 + \dfrac{2}{x}$$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$$8x- 10 + \dfrac{2}{x} = 0$$
Умножим обе части на $x$ $($так как $x > 0){:}$
$$8x^2- 10x + 2 = 0$$
Разделим на $2{:}$
$$4x^2- 5x + 1 = 0$$
Решим квадратное уравнение:
$$D = (-5)^2- 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25- 16 = 9$$
$$x = \dfrac{5 \pm 3}{8} \Rightarrow x_1 = \dfrac{8}{8} = 1, \quad x_2 = \dfrac{2}{8} = 0.25$$
Из этих точек отрезку $[0.3; 3]$ принадлежит только $x = 1$ $($так как $0.25 < 0.3 ).$

Определим знак производной на отрезке:

• При $x \in [0.3; 1)$ $($например, $x = 0.5){:}$
  $y’ = 8 \cdot 0.5- 10 + \dfrac{2}{0.5} = 4- 10 + 4 = -2 < 0$ (функция убывает).
• При $x \in (1; 3]$ $($например, $x = 2){:}$
  $y’ = 8 \cdot 2- 10 + \dfrac{2}{2} = 16- 10 + 1 = 7 > 0$ (функция возрастает). Таким образом, в точке $x = 1$ функция имеет минимум.

Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

• В точке $x = 1{:}$
  $$y(1) = 4 \cdot 1^2- 10 \cdot 1 + 2 \ln 1- 5 = 4- 10 + 0- 5 = -11$$
• На левом конце $x = 0.3{:}$
  $$y(0.3) = 4 \cdot (0.3)^2- 10 \cdot 0.3 + 2 \ln 0.3- 5$$
  Вычислим по частям:
  $4 \cdot 0.09 = 0.36,$
  $-10 \cdot 0.3 = -3,$
  $2 \ln 0.3 \approx 2 \cdot (-1.204) = -2.408,$
  тогда $y(0.3) \approx 0.36- 3- 2.408- 5 = -10.048.$
• На правом конце $x = 3{:}$
  $$y(3) = 4 \cdot 9- 10 \cdot 3 + 2 \ln 3- 5 = 36- 30 + 2 \cdot 1.099- 5 \approx 6 + 2.198- 5 = 3.198$$

Сравнивая: $y(1) = -11,$ $y(0.3) \approx -10.048,$ $y(3) \approx 3.198.$
Наименьшее значение: $-11.$

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке равно $-11.$

Область определения.
Выражение под логарифмом должно быть положительным: $x > 0.$
Таким образом, область определения: $(0; +\infty).$

Найдем производную функции:
$$y’ = (0.5x^2)’- (7x)’ + (12 \ln x)’ + (8)’ = x- 7 + \dfrac{12}{x}$$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$$x- 7 + \dfrac{12}{x} = 0$$
Умножим обе части на $x$ $($так как $x > 0){:}$
$$x^2- 7x + 12 = 0$$
Решим квадратное уравнение:
$$D = (-7)^2- 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49- 48 = 1$$
$$x = \dfrac{7 \pm 1}{2} \Rightarrow x_1 = 4, \quad x_2 = 3$$
Оба корня принадлежат области определения $(0; +\infty).$

Определим знак производной на интервалах:
Разобьем область определения на интервалы: $(0; 3),$ $(3; 4),$ $(4; +\infty).$

• При $x \in (0; 3)$ $($например, $x = 1){:}$
  $y’ = 1- 7 + \dfrac{12}{1} = 6 > 0$ (функция возрастает).
• При $x \in (3; 4)$ $($например, $x = 3.5){:}$
  $y’ = 3.5- 7 + \dfrac{12}{3.5} \approx -3.5 + 3.428 = -0.072 < 0$ (функция убывает).
• При $x \in (4; +\infty)$ $($например, $x = 5){:}$
  $y’ = 5- 7 + \dfrac{12}{5} = -2 + 2.4 = 0.4 > 0$ (функция возрастает).

Таким образом:

В точке $x = 3$ производная меняет знак с $+$ на $-,$ значит, это точка максимума.

В точке $x = 4$ производная меняет знак с $-$ на $+,$ значит, это точка минимума.

Ответ: точка максимума $x = 3.$

Упростим функцию:
Используем свойство логарифма: $\ln a^2 = 2 \ln |a|.$
$$y = \ln(x + 4)^2 + 2x + 7 = 2 \ln |x + 4| + 2x + 7$$
Рассмотрим два случая:

• При $x > -4{:}$ $|x + 4| = x + 4,$ тогда $y = 2 \ln(x + 4) + 2x + 7.$
• При $x < -4{:}$ $|x + 4| = -(x + 4),$ тогда $y = 2 \ln(-x- 4) + 2x + 7.$

Найдем производную для каждого случая:

• При $x > -4{:}$
  $$y’ = \dfrac{2}{x + 4} + 2$$
• При $x < -4{:}$
  $$y’ = \dfrac{2 \cdot (-1)}{-x- 4} + 2 = \dfrac{-2}{-x- 4} + 2 = \dfrac{2}{x + 4} + 2$$

Таким образом, для всех $x \neq -4$ производная имеет вид:
$$y’ = \dfrac{2}{x + 4} + 2$$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$$\dfrac{2}{x + 4} + 2 = 0 \Rightarrow \dfrac{2}{x + 4} = -2 \Rightarrow \dfrac{1}{x + 4} = -1 \Rightarrow x + 4 = -1 \Rightarrow x = -5$$
Точка $x = -5$ принадлежит области определения $x < -4.$

Определим знак производной на интервалах:
Область определения: $x \neq -4.$

При $x < -5$ $($например, $x = -6){:}$ $y’ = \dfrac{2}{-6 + 4} + 2 = \dfrac{2}{-2} + 2 = -1 + 2 = 1 > 0$ (функция возрастает).

При $-5 < x < -4$ $($например, $x = -4.5){:}$
$y’ = \dfrac{2}{-4.5 + 4} + 2 = \dfrac{2}{-0.5} + 2 = -4 + 2 = -2 < 0$ (функция убывает).

При $x > -4$ $($например, $x = 0){:}$
$y’ = \dfrac{2}{0 + 4} + 2 = 0.5 + 2 = 2.5 > 0$ (функция возрастает).

Таким образом, в точке $x = -5$ производная меняет знак с положительного на отрицательный, значит, это точка максимума.

Ответ: точка максимума $x = -5.$

Область определения.
Выражение под логарифмом должно быть положительным:
$$x + 7 > 0 \Rightarrow x > -7$$
Таким образом, область определения: $(-7; +\infty).$

Найдем производную функции:
$$y’ = (8 \ln(x + 7))’- (8x)’ + (3)’ = \dfrac{8}{x + 7}- 8$$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$$\dfrac{8}{x + 7}- 8 = 0 \Rightarrow \dfrac{8}{x + 7} = 8 \Rightarrow \dfrac{1}{x + 7} = 1 \Rightarrow x + 7 = 1 \Rightarrow x = -6$$
Точка $x = -6$ принадлежит области определения $(-7; +\infty).$

Определим знак производной на интервалах:

При $x > -6$ $($например, $x = 0){:}$
$y’ = \dfrac{8}{0 + 7}- 8 = \dfrac{8}{7}- 8 = -\dfrac{48}{7} < 0$ (функция убывает).

При $-7 < x < -6$ $($например, $x = -6.5){:}$ $y’ = \dfrac{8}{-6.5 + 7}- 8 = \dfrac{8}{0.5}- 8 = 16- 8 = 8 > 0$ (функция возрастает). Таким образом, в точке $x = -6$ производная меняет знак с положительного на отрицательный, значит, это точка максимума.

Ответ: точка максимума $x = -6.$

Область определения:
Выражение под логарифмом должно быть положительным:
$$x + 7 > 0 \Rightarrow x > -7$$
Таким образом, область определения: $(-7; +\infty).$

Найдем производную функции:
$$y’ = (4x)’- (4 \ln(x + 7))’ = 4- \dfrac{4}{x + 7}$$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$$4- \dfrac{4}{x + 7} = 0 \Rightarrow \dfrac{4}{x + 7} = 4 \Rightarrow \dfrac{1}{x + 7} = 1 \Rightarrow x + 7 = 1 \Rightarrow x = -6$$
Точка $x = -6$ принадлежит области определения $(-7; +\infty).$

Определим знак производной на интервалах:

При $x > -6$ $($например, $x = 0){:}$
$y’ = 4- \dfrac{4}{0 + 7} = 4- \dfrac{4}{7} = \dfrac{24}{7} > 0$ (функция возрастает).

При $-7 < x < -6$ $($например, $x = -6.5){:}$
$y’ = 4- \dfrac{4}{-6.5 + 7} = 4- \dfrac{4}{0.5} = 4- 8 = -4 < 0$ (функция убывает).

Таким образом, в точке $x = -6$ производная меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это точка минимума.

Ответ: точка минимума $x = -6.$

Упростим функцию:
Используем свойство логарифма: $\ln a^b = b \ln a.$
$$y = \ln(x + 5)^5- 5x = 5 \ln(x + 5)- 5x$$

Область определения:
Выражение под логарифмом должно быть положительным:
$$x + 5 > 0 \Rightarrow x > -5$$
Таким образом, область определения: $(-5; +\infty).$

Найдем производную функции:
$$y’ = (5 \ln(x + 5))’- (5x)’ = \dfrac{5}{x + 5}- 5$$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$$\dfrac{5}{x + 5}- 5 = 0 \Rightarrow \dfrac{5}{x + 5} = 5 \Rightarrow \dfrac{1}{x + 5} = 1 \Rightarrow x + 5 = 1 \Rightarrow x = -4$$
Точка $x = -4$ принадлежит области определения $(-5; +\infty).$

Определим знак производной на интервалах:

При $x > -4$ $($например, $x = 0){:}$
$y’ = \dfrac{5}{0 + 5}- 5 = 1- 5 = -4 < 0$ (функция убывает).

При $-5 < x < -4$ $($например, $x = -4.5){:}$ $y’ = \dfrac{5}{-4.5 + 5}- 5 = \dfrac{5}{0.5}- 5 = 10- 5 = 5 > 0$ (функция возрастает).

Таким образом, в точке $x = -4$ производная меняет знак с положительного на отрицательный, значит, это точка максимума.

Ответ: точка максимума $x = -4.$

Упростим функцию:
Используем свойство логарифма: $\ln a^b = b \ln a.$
$$y = 3x- \ln(x + 3)^3 = 3x- 3 \ln(x + 3)$$

Область определения:
Выражение под логарифмом должно быть положительным:
$$x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$$
Таким образом, область определения: $(-3; +\infty).$

Найдем производную функции:
$$y’ = (3x)’- (3 \ln(x + 3))’ = 3- \dfrac{3}{x + 3}$$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$$3- \dfrac{3}{x + 3} = 0 \Rightarrow \dfrac{3}{x + 3} = 3 \Rightarrow \dfrac{1}{x + 3} = 1 \Rightarrow x + 3 = 1 \Rightarrow x = -2$$
Точка $x = -2$ принадлежит области определения $(-3; +\infty).$

Определим знак производной на интервалах:

При $x > -2$ $($например, $x = 0){:}$
$y’ = 3- \dfrac{3}{0 + 3} = 3- 1 = 2 > 0$ (функция возрастает).

При $-3 < x < -2$ $($например, $x = -2.5){:}$
$y’ = 3- \dfrac{3}{-2.5 + 3} = 3- \dfrac{3}{0.5} = 3- 6 = -3 < 0$ (функция убывает).

Таким образом, в точке $x = -2$ производная меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это точка минимума.

Ответ: точка минимума $x = -2.$

Упростим функцию.
Используем свойство логарифма: $\ln a^b = b \ln a.$
$$y = \ln(x + 5)^5- 5x = 5 \ln(x + 5)- 5x$$

Найдем производную функции:
$$y’ = \dfrac{5}{x + 5}- 5$$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$$\dfrac{5}{x + 5}- 5 = 0 \Rightarrow \dfrac{5}{x + 5} = 5 \Rightarrow \dfrac{1}{x + 5} = 1 \Rightarrow x + 5 = 1 \Rightarrow x = -4$$
Точка $x = -4$ принадлежит отрезку $[-4.5; 0].$

Определим знак производной на интервалах:

При $x > -4$ $($например, $x = -3){:}$
$\dfrac{5}{-3 + 5} = \dfrac{5}{2} = 2.5,$ тогда $y’ = 2.5- 5 = -2.5 < 0$ (функция убывает).

При $x < -4$ $($например, $x = -4.5){:}$ $\dfrac{5}{-4.5 + 5} = \dfrac{5}{0.5} = 10,$ тогда $y’ = 10- 5 = 5 > 0$ (функция возрастает). Таким образом, в точке $x = -4$ функция имеет максимум.

Вычислим значение функции в точке максимума и на концах отрезка:

• В точке $x = -4{:}$
  $$y(-4) = 5 \ln(-4 + 5)- 5 \cdot (-4) = 5 \ln 1 + 20 = 5 \cdot 0 + 20 = 20$$
• На левом конце $x = -4.5{:}$
  $$y(-4.5) = 5 \ln(-4.5 + 5)- 5 \cdot (-4.5) = 5 \ln(0.5) + 22.5$$
  $\ln(0.5) \approx -0.693,$ тогда $5 \ln(0.5) \approx -3.465,$ значит, $y(-4.5) \approx -3.465 + 22.5 = 19.035 < 20.$
• На правом конце $x = 0{:}$
  $$y(0) = 5 \ln(0 + 5)- 5 \cdot 0 = 5 \ln 5$$
  $\ln 5 \approx 1.609,$ тогда $5 \ln 5 \approx 8.045 < 20.$

Наибольшее значение функции на отрезке равно $20.$