12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #212037

Упростим функцию:
Используем свойство логарифма: $\ln a^2 = 2 \ln |a|.$
$$y = \ln(x + 4)^2 + 2x + 7 = 2 \ln |x + 4| + 2x + 7$$
Рассмотрим два случая:

• При $x > -4{:}$ $|x + 4| = x + 4,$ тогда $y = 2 \ln(x + 4) + 2x + 7.$
• При $x < -4{:}$ $|x + 4| = -(x + 4),$ тогда $y = 2 \ln(-x- 4) + 2x + 7.$

Найдем производную для каждого случая:

• При $x > -4{:}$
  $$y’ = \dfrac{2}{x + 4} + 2$$
• При $x < -4{:}$
  $$y’ = \dfrac{2 \cdot (-1)}{-x- 4} + 2 = \dfrac{-2}{-x- 4} + 2 = \dfrac{2}{x + 4} + 2$$

Таким образом, для всех $x \neq -4$ производная имеет вид:
$$y’ = \dfrac{2}{x + 4} + 2$$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$$\dfrac{2}{x + 4} + 2 = 0 \Rightarrow \dfrac{2}{x + 4} = -2 \Rightarrow \dfrac{1}{x + 4} = -1 \Rightarrow x + 4 = -1 \Rightarrow x = -5$$
Точка $x = -5$ принадлежит области определения $x < -4.$

Определим знак производной на интервалах:
Область определения: $x \neq -4.$

При $x < -5$ $($например, $x = -6){:}$ $y’ = \dfrac{2}{-6 + 4} + 2 = \dfrac{2}{-2} + 2 = -1 + 2 = 1 > 0$ (функция возрастает).

При $-5 < x < -4$ $($например, $x = -4.5){:}$
$y’ = \dfrac{2}{-4.5 + 4} + 2 = \dfrac{2}{-0.5} + 2 = -4 + 2 = -2 < 0$ (функция убывает).

При $x > -4$ $($например, $x = 0){:}$
$y’ = \dfrac{2}{0 + 4} + 2 = 0.5 + 2 = 2.5 > 0$ (функция возрастает).

Таким образом, в точке $x = -5$ производная меняет знак с положительного на отрицательный, значит, это точка максимума.

Ответ: точка максимума $x = -5.$