12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #212038

Область определения.
Выражение под логарифмом должно быть положительным:
$$x + 7 > 0 \Rightarrow x > -7$$
Таким образом, область определения: $(-7; +\infty).$

Найдем производную функции:
$$y’ = (8 \ln(x + 7))’- (8x)’ + (3)’ = \dfrac{8}{x + 7}- 8$$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$$\dfrac{8}{x + 7}- 8 = 0 \Rightarrow \dfrac{8}{x + 7} = 8 \Rightarrow \dfrac{1}{x + 7} = 1 \Rightarrow x + 7 = 1 \Rightarrow x = -6$$
Точка $x = -6$ принадлежит области определения $(-7; +\infty).$

Определим знак производной на интервалах:

При $x > -6$ $($например, $x = 0){:}$
$y’ = \dfrac{8}{0 + 7}- 8 = \dfrac{8}{7}- 8 = -\dfrac{48}{7} < 0$ (функция убывает).

При $-7 < x < -6$ $($например, $x = -6.5){:}$ $y’ = \dfrac{8}{-6.5 + 7}- 8 = \dfrac{8}{0.5}- 8 = 16- 8 = 8 > 0$ (функция возрастает). Таким образом, в точке $x = -6$ производная меняет знак с положительного на отрицательный, значит, это точка максимума.

Ответ: точка максимума $x = -6.$