12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #212040

Область определения:
Выражение под логарифмом должно быть положительным:
$$x + 7 > 0 \Rightarrow x > -7$$
Таким образом, область определения: $(-7; +\infty).$

Найдем производную функции:
$$y’ = (4x)’- (4 \ln(x + 7))’ = 4- \dfrac{4}{x + 7}$$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$$4- \dfrac{4}{x + 7} = 0 \Rightarrow \dfrac{4}{x + 7} = 4 \Rightarrow \dfrac{1}{x + 7} = 1 \Rightarrow x + 7 = 1 \Rightarrow x = -6$$
Точка $x = -6$ принадлежит области определения $(-7; +\infty).$

Определим знак производной на интервалах:

При $x > -6$ $($например, $x = 0){:}$
$y’ = 4- \dfrac{4}{0 + 7} = 4- \dfrac{4}{7} = \dfrac{24}{7} > 0$ (функция возрастает).

При $-7 < x < -6$ $($например, $x = -6.5){:}$
$y’ = 4- \dfrac{4}{-6.5 + 7} = 4- \dfrac{4}{0.5} = 4- 8 = -4 < 0$ (функция убывает).

Таким образом, в точке $x = -6$ производная меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это точка минимума.

Ответ: точка минимума $x = -6.$