12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #212042

Упростим функцию:
Используем свойство логарифма: $\ln a^b = b \ln a.$
$$y = \ln(x + 5)^5- 5x = 5 \ln(x + 5)- 5x$$

Область определения:
Выражение под логарифмом должно быть положительным:
$$x + 5 > 0 \Rightarrow x > -5$$
Таким образом, область определения: $(-5; +\infty).$

Найдем производную функции:
$$y’ = (5 \ln(x + 5))’- (5x)’ = \dfrac{5}{x + 5}- 5$$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$$\dfrac{5}{x + 5}- 5 = 0 \Rightarrow \dfrac{5}{x + 5} = 5 \Rightarrow \dfrac{1}{x + 5} = 1 \Rightarrow x + 5 = 1 \Rightarrow x = -4$$
Точка $x = -4$ принадлежит области определения $(-5; +\infty).$

Определим знак производной на интервалах:

При $x > -4$ $($например, $x = 0){:}$
$y’ = \dfrac{5}{0 + 5}- 5 = 1- 5 = -4 < 0$ (функция убывает).

При $-5 < x < -4$ $($например, $x = -4.5){:}$ $y’ = \dfrac{5}{-4.5 + 5}- 5 = \dfrac{5}{0.5}- 5 = 10- 5 = 5 > 0$ (функция возрастает).

Таким образом, в точке $x = -4$ производная меняет знак с положительного на отрицательный, значит, это точка максимума.

Ответ: точка максимума $x = -4.$