12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #212043

Упростим функцию:
Используем свойство логарифма: $\ln a^b = b \ln a.$
$$y = 3x- \ln(x + 3)^3 = 3x- 3 \ln(x + 3)$$

Область определения:
Выражение под логарифмом должно быть положительным:
$$x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$$
Таким образом, область определения: $(-3; +\infty).$

Найдем производную функции:
$$y’ = (3x)’- (3 \ln(x + 3))’ = 3- \dfrac{3}{x + 3}$$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$$3- \dfrac{3}{x + 3} = 0 \Rightarrow \dfrac{3}{x + 3} = 3 \Rightarrow \dfrac{1}{x + 3} = 1 \Rightarrow x + 3 = 1 \Rightarrow x = -2$$
Точка $x = -2$ принадлежит области определения $(-3; +\infty).$

Определим знак производной на интервалах:

При $x > -2$ $($например, $x = 0){:}$
$y’ = 3- \dfrac{3}{0 + 3} = 3- 1 = 2 > 0$ (функция возрастает).

При $-3 < x < -2$ $($например, $x = -2.5){:}$
$y’ = 3- \dfrac{3}{-2.5 + 3} = 3- \dfrac{3}{0.5} = 3- 6 = -3 < 0$ (функция убывает).

Таким образом, в точке $x = -2$ производная меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это точка минимума.

Ответ: точка минимума $x = -2.$