12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #212044

Упростим функцию.
Используем свойство логарифма: $\ln a^b = b \ln a.$
$$y = \ln(x + 5)^5- 5x = 5 \ln(x + 5)- 5x$$

Найдем производную функции:
$$y’ = \dfrac{5}{x + 5}- 5$$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$$\dfrac{5}{x + 5}- 5 = 0 \Rightarrow \dfrac{5}{x + 5} = 5 \Rightarrow \dfrac{1}{x + 5} = 1 \Rightarrow x + 5 = 1 \Rightarrow x = -4$$
Точка $x = -4$ принадлежит отрезку $[-4.5; 0].$

Определим знак производной на интервалах:

При $x > -4$ $($например, $x = -3){:}$
$\dfrac{5}{-3 + 5} = \dfrac{5}{2} = 2.5,$ тогда $y’ = 2.5- 5 = -2.5 < 0$ (функция убывает).

При $x < -4$ $($например, $x = -4.5){:}$ $\dfrac{5}{-4.5 + 5} = \dfrac{5}{0.5} = 10,$ тогда $y’ = 10- 5 = 5 > 0$ (функция возрастает). Таким образом, в точке $x = -4$ функция имеет максимум.

Вычислим значение функции в точке максимума и на концах отрезка:

• В точке $x = -4{:}$
  $$y(-4) = 5 \ln(-4 + 5)- 5 \cdot (-4) = 5 \ln 1 + 20 = 5 \cdot 0 + 20 = 20$$
• На левом конце $x = -4.5{:}$
  $$y(-4.5) = 5 \ln(-4.5 + 5)- 5 \cdot (-4.5) = 5 \ln(0.5) + 22.5$$
  $\ln(0.5) \approx -0.693,$ тогда $5 \ln(0.5) \approx -3.465,$ значит, $y(-4.5) \approx -3.465 + 22.5 = 19.035 < 20.$
• На правом конце $x = 0{:}$
  $$y(0) = 5 \ln(0 + 5)- 5 \cdot 0 = 5 \ln 5$$
  $\ln 5 \approx 1.609,$ тогда $5 \ln 5 \approx 8.045 < 20.$

Наибольшее значение функции на отрезке равно $20.$