12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #212035

Область определения.
Выражение под логарифмом должно быть положительным: $x > 0.$
Таким образом, область определения: $(0; +\infty).$

Найдем производную функции:
$$y’ = (0.5x^2)’- (7x)’ + (12 \ln x)’ + (8)’ = x- 7 + \dfrac{12}{x}$$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$$x- 7 + \dfrac{12}{x} = 0$$
Умножим обе части на $x$ $($так как $x > 0){:}$
$$x^2- 7x + 12 = 0$$
Решим квадратное уравнение:
$$D = (-7)^2- 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49- 48 = 1$$
$$x = \dfrac{7 \pm 1}{2} \Rightarrow x_1 = 4, \quad x_2 = 3$$
Оба корня принадлежат области определения $(0; +\infty).$

Определим знак производной на интервалах:
Разобьем область определения на интервалы: $(0; 3),$ $(3; 4),$ $(4; +\infty).$

• При $x \in (0; 3)$ $($например, $x = 1){:}$
  $y’ = 1- 7 + \dfrac{12}{1} = 6 > 0$ (функция возрастает).
• При $x \in (3; 4)$ $($например, $x = 3.5){:}$
  $y’ = 3.5- 7 + \dfrac{12}{3.5} \approx -3.5 + 3.428 = -0.072 < 0$ (функция убывает).
• При $x \in (4; +\infty)$ $($например, $x = 5){:}$
  $y’ = 5- 7 + \dfrac{12}{5} = -2 + 2.4 = 0.4 > 0$ (функция возрастает).

Таким образом:

В точке $x = 3$ производная меняет знак с $+$ на $-,$ значит, это точка максимума.

В точке $x = 4$ производная меняет знак с $-$ на $+,$ значит, это точка минимума.

Ответ: точка максимума $x = 3.$