12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #212033

Область определения.
Выражение под логарифмом должно быть положительным: $x > 0.$
Отрезок $[0.3; 3]$ полностью входит в область определения.

Найдем производную функции:
$$y’ = (4x^2)’- (10x)’ + (2\ln x)’- (5)’ = 8x- 10 + \dfrac{2}{x}$$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$$8x- 10 + \dfrac{2}{x} = 0$$
Умножим обе части на $x$ $($так как $x > 0){:}$
$$8x^2- 10x + 2 = 0$$
Разделим на $2{:}$
$$4x^2- 5x + 1 = 0$$
Решим квадратное уравнение:
$$D = (-5)^2- 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25- 16 = 9$$
$$x = \dfrac{5 \pm 3}{8} \Rightarrow x_1 = \dfrac{8}{8} = 1, \quad x_2 = \dfrac{2}{8} = 0.25$$
Из этих точек отрезку $[0.3; 3]$ принадлежит только $x = 1$ $($так как $0.25 < 0.3 ).$

Определим знак производной на отрезке:

• При $x \in [0.3; 1)$ $($например, $x = 0.5){:}$
  $y’ = 8 \cdot 0.5- 10 + \dfrac{2}{0.5} = 4- 10 + 4 = -2 < 0$ (функция убывает).
• При $x \in (1; 3]$ $($например, $x = 2){:}$
  $y’ = 8 \cdot 2- 10 + \dfrac{2}{2} = 16- 10 + 1 = 7 > 0$ (функция возрастает). Таким образом, в точке $x = 1$ функция имеет минимум.

Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

• В точке $x = 1{:}$
  $$y(1) = 4 \cdot 1^2- 10 \cdot 1 + 2 \ln 1- 5 = 4- 10 + 0- 5 = -11$$
• На левом конце $x = 0.3{:}$
  $$y(0.3) = 4 \cdot (0.3)^2- 10 \cdot 0.3 + 2 \ln 0.3- 5$$
  Вычислим по частям:
  $4 \cdot 0.09 = 0.36,$
  $-10 \cdot 0.3 = -3,$
  $2 \ln 0.3 \approx 2 \cdot (-1.204) = -2.408,$
  тогда $y(0.3) \approx 0.36- 3- 2.408- 5 = -10.048.$
• На правом конце $x = 3{:}$
  $$y(3) = 4 \cdot 9- 10 \cdot 3 + 2 \ln 3- 5 = 36- 30 + 2 \cdot 1.099- 5 \approx 6 + 2.198- 5 = 3.198$$

Сравнивая: $y(1) = -11,$ $y(0.3) \approx -10.048,$ $y(3) \approx 3.198.$
Наименьшее значение: $-11.$

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке равно $-11.$