12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #212028

Область определения.
Выражение под логарифмом должно быть положительным: $x > 0.$
Таким образом, область определения: $(0; +\infty).$

Найдем производную функции:
$$y’ = (2x^2)’- (25x)’ + (39 \ln x)’- (54)’ = 4x- 25 + \dfrac{39}{x}$$
Приведем к общему знаменателю:
$$y’ = \dfrac{4x^2- 25x + 39}{x}$$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
Так как знаменатель $x > 0,$ достаточно решить:
$$4x^2- 25x + 39 = 0$$
Решим квадратное уравнение:
$$D = (-25)^2- 4 \cdot 4 \cdot 39 = 625- 624 = 1$$
$$x = \dfrac{25 \pm 1}{8} \Rightarrow x_1 = \dfrac{24}{8} = 3, \quad x_2 = \dfrac{26}{8} = 3.25$$
Оба корня принадлежат области определения $(0; +\infty).$

Определим знак производной на интервалах:
Разобьем область определения на интервалы: $(0; 3),$ $(3; 3.25),$ $(3.25; +\infty).$

• При $x \in (0; 3)$ $($например, $x = 1){:}$
  Числитель: $4 \cdot 1- 25 + 39 = 18 > 0,$ знаменатель $x > 0$ $\Rightarrow$ $y’ > 0$ (функция возрастает).
• При $x \in (3; 3.25)$ $($например, $x = 3.1){:}$
  Числитель: $4 \cdot (3.1)^2- 25 \cdot 3.1 + 39 \approx 38.44- 77.5 + 39 = -0.06 < 0,$ знаменатель $x > 0$ $\Rightarrow$ $y’ < 0$ (функция убывает).
• При $x \in (3.25; +\infty)$ $($например, $x = 4){:}$
  Числитель: $4 \cdot 16- 25 \cdot 4 + 39 = 64- 100 + 39 = 3 > 0,$ знаменатель $x > 0$ $\Rightarrow$ $y’ > 0$ (функция возрастает).

Таким образом:

В точке $x = 3$ производная меняет знак с $+$ на $-,$ значит, это точка максимума.

В точке $x = 3.25$ производная меняет знак с $-$ на $+,$ значит, это точка минимума.

Ответ: точка максимума $x = 3.$