12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #167231

Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x+7>0$$ $$x>-7$$Найдем производную данной функции: $$f'(x)=4-\frac{4}{x+7}$$ Приравняем производную к нулю: $$4-\frac{4}{x+7}=0$$ $$\frac{4}{x+7}=4$$ $$4=4x+28$$ $$4x=-24$$ $$x=-6$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной на промежутке $[-6.5;0]$: $f'(x)<0$ на промежутке $[-6.5;6),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-6;0].$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=-6$ — это точка минимума функции.

Найдем значение функции $y=4x-4\ln(x+7)+6$ в данной точке: $$y=4\cdot(-6)-4\ln(-6+7)+6=-18$$