12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #167233
Найдите точку максимума функции $y=2x^2-13x+9\ln{x}+8.$
Аргумент логарифма должен быть положительным: $$x>0$$ Найдем производную данной функции: $$f'(x)=4x-13+\frac{9}{x}$$ Приравняем производную к нулю: $$4x-13+\frac{9}{x}=0$$ $$4x^2-13x+9=0$$ $$x_1=1$$ $$x_2=2.25$$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(0;1)\cup(2.25;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(1;2.25).$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=1$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=2x^2-13x+9\ln{x}+8.$