10. Текстовые задачи: Задачи на движение
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города $А$ в город $В,$ расстояние между которыми равно $70 км.$ На следующий день он отправился обратно со скоростью на $3 км/ч$ больше прежней. По дороге он сделал остановку на $3$ часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из $А$ в $В.$ Найдите скорость велосипедиста на пути из $B$ в $A.$ Ответ дайте в $км/ч.$
Пусть скорость велосипедиста на пути из $B$ в $A$ равна $x км/ч.$ Тогда скорость из $A$ в $B$ будет равна $x-3 \spaceкм/ч.$ Время движения велосипедиста вперед будет: $\frac{70}{x-3} \spaceч,$ а время движения велосипедиста назад будет равно: $\frac{70}{x}+3 \spaceч.$ На путь из $B$ в $A$ велосипедист затратил столько же времени, сколько и на путь из $A$ в $B$: $$\frac{70}{x}+3=\frac{70}{x-3}$$
Решим полученное уравнение: $$x^2-3x+70=0$$ $$x_1=10$$ $$x_2=-7$$ Скорость не может быть отрицательной, значит, скорость велосипедиста на пути из города $B$ в город $A$ равна $10 \spaceкм/ч.$
Два друга отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по парку. Скорость первого на $1.5\space км/ч$ больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между друзьями станет равным $300$ метрам?
Скорости друзей отличаются на $1.5\space км/ч,$ значит, они удаляются друг от друга каждый час на $1.5\space км.$ Следовательно, для того чтобы найти время, через которое расстояние между ними станет равным $300\space м,$ нужно необходимое расстояние разделить на скорость удаления: $$\frac{300}{1500}=0.2$$ Переведем часы в минуты: $$0.2 \cdot 60 = 12$$
Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью $60 \spaceкм/ч,$ вторую треть — со скоростью $120\spaceкм/ч,$ а последнюю — со скоростью $110\spaceкм/ч.$ Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в $км/ч.$
Чтобы найти среднюю скорость на протяжении всего пути, нужно весь путь разделить на все время движения. Примем весь путь за $3s \space км.$ Тогда первую треть трассы автомобиль преодолел за $\frac{s}{60}\spaceч,$ вторую треть — за $\frac{s}{120}\spaceч,$ а последнюю треть — за $\frac{s}{110}\spaceч.$
Составим уравнение и найдем среднюю скорость автомобиля: $$v=\frac{3s}{\frac{s}{60}+\frac{s}{120}+\frac{s}{110}}$$ $$v=\frac{12\cdot 10\cdot11\cdot3}{45}$$ $$v=88$$
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью $60\spaceкм/ч,$ проезжает мимо станции, длина которой равна $400$ метрам, за $1$ минуту. Найдите длину поезда в метрах.
За $1$ минуту поезд проезжает $1000$ метров, так как скорость поезда равна $60\spaceкм/ч.$ За $1$ минуту поезд проезжает мимо станции, значит, проходит расстояние, равное сумме длины станции и длины поезда. Следовательно, длина поезда составляет: $$1000−400=600$$
Моторная лодка в $11:00$ вышла из пункта $A$ в пункт $B,$ расположенный в $30\space км$ от $A.$ Пробыв в пункте $B$ $2$ часа $30$ минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт $A$ в $19:00$ того же дня. Определите собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки $1\spaceкм/ч.$
Примем собственную скорость лодки за $x.$ Тогда скорость лодки по течению равна $x+1\space км/ч,$ а скорость лодки против течения равна $ x-1\space км/ч.$ Время движения лодки по течению равно $\frac{30}{x+1} \space ч,$ а время движения лодки против течения равно $\frac{30}{x−1}\spaceч.$ Моторная лодка находилась в движении всего $8-2.5=5.5 \spaceч.$ Составим уравнение: $$\frac{30}{x+1}+\frac{30}{x-1}=5.5$$ $$11x^2-120x-11=0$$ $$x_1=11$$ $$x_2=-\frac{1}{11}$$ Скорость не может быть отрицательной, значит, собственная скорость лодки равна $11\spaceкм/ч.$
Два велосипедиста одновременно отправились в $88$-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на $3\space км/ч$ большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на $3$ часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в $км/ч.$
Примем скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым за $x.$ Тогда его время в пути равно $\frac{88}{x} \spaceч.$ Скорость пришедшего первым к финишу велосипедиста равна $x+3 \spaceкм/ч,$ а его время в пути равно $\frac{88}{x+3} \spaceч.$ Первый велосипедист прибыл к финишу на $3$ часа раньше второго: $$\frac{88}{x}-\frac{88}{x+3} = 3$$ $$x^2+3x-88=0$$ $$x_1=8$$ $$x_2=-11$$ Скорость не может быть отрицательной, значит, скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна $8\spaceкм/ч.$
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения $280\space км$ и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна $4\space км/ч,$ стоянка длится $15$ часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через $39$ часов после отплытия из него. Ответ дайте в $км/ч.$
Примем собственную скорость теплохода за $x.$ Тогда скорость теплохода по течению равна $x+4\space км/ч,$ а скорость теплохода против течения равна $x-4\space км/ч.$ Теплоход находился в движении $39 -15=24\spaceч.$ Составим уравнение: $$\frac{280}{x+4}+\frac{280}{x-4}=24$$ $$3x^2-70x-48=0$$ $$x_1=24$$ $$x_2=-\frac{2}{3}$$ Скорость не может быть отрицательной, значит, собственная скорость теплохода равна $24\spaceкм/ч.$
Расстояние между городами $A$ и $B$ равно $435 \space км.$ Из города $A$ в город $B$ со скоростью $60 \space км/ч$ выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города $B$ выехал второй автомобиль со скоростью $65\space км/ч.$ На каком расстоянии от города $A$ автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.
Пусть автомобили встретятся на расстоянии $s\space км$ от города $A.$ Тогда второй автомобиль до встречи проедет $435−s\space км.$ До момента встречи первый автомобиль будет ехать $\frac{s}{60}\space ч,$ а второй автомобиль будет ехать $\frac{435−s}{65}\space ч.$ При этом второй автомобиль будет находиться в пути на $1\space ч$ меньше первого автомобиля: $$\frac{s}{60}-\frac{435−s}{65}=1$$
$$\frac{s}{12}-\frac{435−s}{13}=5$$ $$13s-12\cdot 435+12s=5\cdot 12 \cdot 13$$ $$25s=6\space000$$ $$s=240$$
Расстояние между городами $A$ и $B$ равно $465\space км.$ Из города $A$ в город $B$ со скоростью $45\space км/ч$ выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города $B$ выехал второй автомобиль со скоростью $60\space км/ч.$ На каком расстоянии от города $A$ автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.
Пусть автомобили встретятся на расстоянии $s\space км$ от города $A.$ Тогда второй автомобиль до встречи проедет $465−s\space км.$ До момента встречи первый автомобиль будет ехать $\frac{s}{45}\space ч,$ а второй автомобиль будет ехать $\frac{465−s}{60}\space ч.$ При этом второй автомобиль будет находиться в пути на $1\space ч$ меньше первого автомобиля: $$\frac{s}{45}-\frac{465−s}{60}=1$$
$$\frac{s}{3}-\frac{465−s}{4}=15$$ $$4s-3\cdot 465+3s=15\cdot 3 \cdot 4$$ $$7s=1\space575$$ $$s=225$$
Товарный поезд каждую минуту проезжает на $750\space м$ меньше, чем скорый, и на путь в $180\space км$ тратит времени на $2$ часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в $км/ч.$
Переведем скорость в $км/ч$: $$750:1000 \cdot 60 =45$$ Пусть скорость товарного поезда равна $x\space км/ч.$ Тогда скорость скорого поезда равна $x+45\space км/ч.$ Значит, на путь в $180\space км$ товарный поезд тратит $\frac{180}{x} \space ч,$ а скорый тратит $\frac{180}{x+45}\space ч,$ что по условию на $2 \space ч$ меньше. Следовательно, мы можем составить уравнение: $$\frac{180}{x}-\frac{180}{x+45}=2$$
$$180(x+45)-180x=2x(x+45)$$ $$x^2+45x-4 \space050=0$$ $$x_1=45$$ $$x_2=-90$$ Скорость не может быть отрицательной, значит, скорость товарного поезда равна $45 \space км/ч.$
Товарный поезд каждую минуту проезжает на $500\space м$ меньше, чем скорый, и на путь в $360\space км$ тратит времени на $6$ часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в $км/ч.$
Переведем скорость в $км/ч$: $$500:1000 \cdot 60 =30$$ Пусть скорость товарного поезда равна $x\space км/ч.$ Тогда скорость скорого поезда равна $x+30\space км/ч.$ Значит, на путь в $360\space км$ товарный поезд тратит $\frac{360}{x}\space ч,$ а скорый тратит $\frac{360}{x+30}\space ч,$ что по условию на $6 \space ч$ меньше. Следовательно, мы можем составить уравнение: $$\frac{360}{x}-\frac{360}{x+30}=6$$
$$360(x+30)-360x=6x(x+30)$$ $$360x+30\cdot 360 -360x=6x^2+180x$$ $$6x^2+180x-10 \space800=0$$ $$x^2+30x-1 \space800=0$$$$x_1=30$$ $$x_2=-60$$ Скорость не может быть отрицательной, значит, скорость товарного поезда равна $30 \space км/ч.$
Два человека отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в $4.4 \space км$ от дома. Один идет со скоростью $2.5 \space км/ч,$ а другой — со скоростью $3 \space км/ч.$ Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от дома произойдет их встреча? Ответ дайте в километрах.
Примем расстояние от дома до места встречи за $x\spaceкм.$ Значит, человек, движущийся медленнее, пройдет это расстояние за $\frac{x}{2.5} ч.$ Другой человек сначала пройдёт $4.4 км$ до опушки леса, а затем вернется на $4.4−x км$ назад. Поэтому всего он пройдет $4.4+4.4−x=8.8−x км$ за $\frac{8.8-x}{3}\space ч$ Время движения первого и второго человека одинаковое: $$\frac{x}{2.5}=\frac{8.8-x}{3}$$ $$3x=22−2.5x$$ $$x=4$$
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна $14 км,$ одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна $80 км/ч,$ и через $40$ минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в $км/ч.$
Пусть скорость второго автомобиля равна $x км/ч.$ Через $40$ минут, то есть $\frac{2}{3}$ часа, первый автомобиль опередил второй на один круг, проехав на $14 км$ больше, чем второй. За это время первый автомобиль проехал $80\cdot \frac{2}{3} км,$ а второй проехал $x\cdot \frac{2}{3} км$:$$80\cdot \frac{2}{3}-x\cdot \frac{2}{3} =14$$ $$x=59$$
Из пункта $A$ в пункт $B$ одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на $13\space км/ч,$ а вторую половину пути со скоростью $78\space км/ч,$ в результате чего прибыл в пункт $B$ одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше $48\space км/ч.$ Ответ дайте в $км/ч.$
Примем скорость первого автомобиля за $x.$ Тогда скорость второго автомобиля первую половину пути будет: $x-13.$ Время движения первого автомобиля можно найти, разделив расстояние на скорость: $\frac{S}{x}.$ Время движения второго автомобиля первую половину пути будет: $\frac{0.5S}{x-13}.$ Тогда время движения второго автомобиля вторую половину пути будет: $\frac{0.5S}{78}$
На дорогу автомобили затратили одинаковое количество времени: $$\frac{S}{x}=\frac{0.5S}{x-13}+\frac{0.5S}{78}$$ $$x^2-91x+2\space028=0$$ $$x_1=52$$ $$x_2=39$$ По условию задачи скорость первого автомобиля должна быть больше $48\space км/ч,$ значит, скорость равна $52 км/ч.$
Из двух городов, расстояние между которыми равно $560\space км,$ навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны $65\space км/ч$ и $75\space км/ч?$
Скорость сближения автомобилей равна: $$65+75=140$$ Следовательно, автомобили встретятся через: $$560:140=4 \space ч$$
Из двух городов, расстояние между которыми равно $770\space км,$ навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля. Через сколько часов автомобили встретятся, если их скорости равны $68\space км/ч$ и $86\space км/ч?$
Скорость сближения автомобилей равна: $$68+86=154$$ Следовательно, автомобили встретятся через: $$770:154=5\space ч$$
Из городов $A$ и $B,$ расстояние между которыми равно $330 \space км,$ навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через $3$ часа на расстоянии $180 \space км$ от города $B.$ Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города $A.$ Ответ дайте в $км/ч.$
Автомобили встретились на расстоянии $180 \spaceкм$ от города $B,$ следовательно, от города $A$ они встретились на расстоянии: $$330−180=150\space км$$
Тогда автомобиль, который выехал из города $A,$ за $3$ часа проехал $150 \space км.$ Значит, его скорость равна: $$150:3=50 \space км/ч$$
Из городов $A$ и $B,$ расстояние между которыми равно $220 \space км,$ навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через $2$ часа на расстоянии $130 \space км$ от города $B.$ Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города $A.$ Ответ дайте в $км/ч.$
Автомобили встретились на расстоянии $220 \space км$ от города $B,$ следовательно, от города $A$ они встретились на расстоянии: $$220−130=90\space км$$
Тогда автомобиль, который выехал из города $A,$ за $2$ часа проехал $90 \space км.$ Значит, его скорость равна: $$90:2=45 \space км/ч$$
еплоход, скорость которого в неподвижной воде равна $25\space км/ч,$ проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна $3 \space км/ч,$ стоянка длится $5$ часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через $30$ часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?
Примем расстояние от исходного пункта до стоянки за $s\space км.$ Тогда весь путь, пройденный теплоходом, равен $2s\space км.$ Скорость теплохода по течению реки равна: $$25+3=28 \space км/ч$$ Скорость против течения равна: $$25−3=22 \space км/ч$$
От исходного пункта до стоянки теплоход шел $\frac{s}{28} \space ч,$ а обратно $\frac{s}{22} \spaceч.$ На весь путь, без учета стоянки, теплоход затратил: $$30−5=25 \space ч$$ Мы можем составить уравнение:$$\frac{s}{28}+\frac{s}{22}=25$$Решим его:$$\frac{25}{308}s=25$$ $$s=308$$Тогда, за весь рейс теплоход прошел: $$2\cdot 308=616 \space км$$
Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна $21 \space км/ч,$ проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна $3\space км/ч,$ стоянка длится $4$ часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через $67$ часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?
Примем расстояние от исходного пункта до стоянки за $s \space км.$ Тогда весь путь, пройденный теплоходом, равен $2s \space км.$ Скорость теплохода по течению реки равна: $$21+3=24 \space км/ч$$ Скорость против течения равна: $$21−3=18 \space км/ч$$
От исходного пункта до стоянки теплоход шел $\frac{s}{24}\space ч,$ а обратно $\frac{s}{18} \space ч.$ На весь путь, без учета стоянки, теплоход затратил: $$67−4=63 \space ч$$ Мы можем составить уравнение:$$\frac{s}{24}+\frac{s}{18}=63$$Решим его:$$\frac{42}{432}s=63$$ $$s=648$$Тогда, за весь рейс теплоход прошел: $$2⋅648=1 \space296\space км$$
Из пункта $A$ в пункт $B$ одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью $24 \space км/ч,$ а вторую половину пути — со скоростью, на $16 \space км/ч$ большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт $В$ одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в $км/ч.$[
Пусть расстояние между пунктами $A$ и $B$ равно $S \space км,$ а скорость первого автомобиля равна $x \space км/ч.$ Тогда скорость второго автомобиля первую половину пути была $24 \space км/ч,$ а вторую — $x+16 \space км/ч.$ Чтобы найти время движения, разделим расстояние на скорость. Время движения второго автомобиля первую половину пути: $\frac{0.5S}{24} \space ч,$ вторую половину пути: $\frac{0.5S}{x+16} \space ч.$
Учитывая, что на всю дорогу автомобили затратили одинаковое количество времени, составим уравнение:$$\frac{S}{x} = \frac{0.5S}{24}+\frac{0.5S}{x+16}$$ $$x^2-8x-768 = 0$$ $$x_1 = 32$$ $$x_2=-24$$ Скорость первого автомобиля является положительным числом, значит, скорость первого автомобиля равна $32 \space км/ч.$
Из пункта $A$ в пункт $B$ одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью $27 \space км/ч,$ а вторую половину пути — со скоростью, на $18 \space км/ч$ большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт $В$ одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в $км/ч.$
Пусть расстояние между пунктами $A$ и $B$ равно $S \space км,$ а скорость первого автомобиля равна $x \space км/ч.$ Тогда скорость второго автомобиля первую половину пути была $27 \space км/ч,$ а вторую — $x+18 \space км/ч.$ Чтобы найти время движения, разделим расстояние на скорость. Время движения второго автомобиля первую половину пути: $\frac{0.5S}{27} \space ч,$ вторую половину пути: $\frac{0.5S}{x+18} \space ч.$
Учитывая, что на всю дорогу автомобили затратили одинаковое количество времени, составим уравнение:
$$\frac{S}{x} = \frac{0.5S}{27}+\frac{0.5S}{x+18}$$ $$\frac{2S}{x} = \frac{S}{27}+\frac{S}{x+18}$$ $$\frac{2S}{x} = \frac{(x+18)S+27S}{27(x+18)}$$ $$\frac{2}{x} = \frac{x+45}{27(x+18)}$$ $$54x+972 = x^2+45x$$ $$x^2-9x-972 = 0$$ $$x_1 = 36$$ $$x_2=-27$$ Скорость первого автомобиля является положительным числом, значит, скорость первого автомобиля равна $36 \space км/ч.$
Моторная лодка прошла против течения реки $112\space км$ и вернулась в пункт отправления, затратив на $6$ часов меньше на обратный путь. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в неподвижной воде равна $11 \space км/ч.$ Ответ дайте в $км/ч.$
Пусть скорость течения реки равна $x \space км/ч.$ Тогда скорость лодки по течению и против течения будет соответственно равна: $11+x \space км/ч$ и $11-x \space км/ч.$ Время движения по течению и против течения будет: $\frac{112}{11+x} \space ч$ и $\frac{112}{11-x} \space ч.$
На обратный путь лодка затратила на $6$ часов меньше. Составим уравнение: $$\frac{112}{11-x}-\frac{112}{11+x}=6$$ $$x_1 = 3$$ $$x_2 = -40\frac{1}{3}$$ Поскольку скорость не может быть отрицательной, скорость течения реки равна $3 \space км/ч.$
Моторная лодка прошла против течения реки $144\space км$ и вернулась в пункт отправления, затратив на $4$ часа меньше на обратный путь. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в неподвижной воде равна $15 \space км/ч.$ Ответ дайте в $км/ч.$
Пусть скорость течения реки равна $x \space км/ч.$ Тогда скорость лодки по течению и против течения будет соответственно равна: $15+x \space км/ч$ и $15-x \space км/ч.$ Время движения по течению и против течения будет: $\frac{144}{15+x} \space ч$ и $\frac{144}{15-x} \space ч.$
На обратный путь лодка затратила на $4$ часа меньше. Составим уравнение: $$\frac{144}{15-x}-\frac{144}{15+x}=4$$ $$\frac{144(15+x)-144(15-x)}{225-x^2}=4$$ $$\frac{288x}{225-x^2}=4$$ $$288x = 900-4x^2$$ $$4x^2+288x-900 = 0$$ $$x^2+72x-225 = 0$$ $$x_1 = 3$$ $$x_2 = -75$$ Поскольку скорость не может быть отрицательной, скорость течения реки равна $3 \space км/ч.$