18. Неравенства: решение неравенств

Приведем неравенство $A$ к равносильному неравенству. Так как основания у обоих частей одинаковые и больше единицы, можно их отбросить: $$2^x \geq 2^1 \Leftrightarrow x \geq1 $$ Аналогичным образом решим неравенство $B{:}$ $$2^x \leq 2^1 \Leftrightarrow x\leq1$$
Приведем обе части неравенства $C$ к одному основанию: $$0.5^x \leq 2 \Leftrightarrow \Big(\frac{1}{2}\Big)^x \leq 2$$ $$\Big(\frac{1}{2}\Big)^x\leq 2 \Leftrightarrow 2^{-x}\leq 2^1$$ Так как основания у обоих частей одинаковые и больше единицы, можно их отбросить: $$-x \leq 1 \Leftrightarrow x \geq -1$$
Аналогичным образом решим неравенство $D{:}$ $$0.5 x\geq 2 \Leftrightarrow \Big(\frac{1}{2}\Big)^x\geq 2$$ $$\Big(\frac{1}{2}\Big)^x\geq 2\Leftrightarrow 2^{-x}\geq 2^1$$ $$-x\geq 1 \Leftrightarrow x \leq -1$$

Представим $1$ и $-1$ в виде логарифмов с основанием $2:$ $$1=\log_22$$ $$-1=\log_2\dfrac{1}{2}$$ Так как основания логарифмов одинаковые и больше $1,$ данные неравенства можно заменит на равносильные: $$\log_2x>\log_22$$ $$x>2$$ Значит, $A-4).$
$$\log_2x<\log_2\dfrac{1}{2}$$ $$x<\dfrac{1}{2}$$ Аргумент логарифма должен быть больше нуля. Значит, $B-1).$
$$\log_2x>\log_2\dfrac{1}{2}$$ $$x>\dfrac{1}{2}$$ Значит, $C-2).$
$$\log_2x<\log_22$$ $$x<2$$ Аргумент логарифма должен быть больше нуля. Значит, $D-3).$

Решим неравенство под буквой $A.$ Представим $1$ как логарифм с основанием $3{:}$ $$\log_3{x}\geq \log_33$$ $$x\geq 3$$ Значит, неравенству $A$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $B.$ Представим $-1$ как логарифм с основанием $3{:}$ $$\log_3{x}\leq \log_3 \frac{1}{3}$$ $$x\leq \frac{1}{3}$$ Аргумент логарифма не может быть меньше или равн нулю. Значит, неравенству $B$ соответствует решение $4).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Представим $-1$ как логарифм с основанием $3{:}$ $$\log_3{x}\geq \log_3 \frac{1}{3}$$ $$x\geq \frac{1}{3}$$ Значит, неравенству $C$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Представим $1$ как логарифм с основанием $3{:}$ $$\log_3{x}\leq \log_33$$ $$x\leq 3$$ Аргумент логарифма не может быть меньше или равн нулю. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $A.$ Представим $1$ как логарифм с основанием $4{:}$ $$\log_4{x}\geq \log_44$$ $$x\geq 4$$ Значит, неравенству $A$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $B.$ Представим $-1$ как логарифм с основанием $4{:}$ $$\log_4{x}\leq \log_4 \frac{1}{4}$$ $$x\leq \frac{1}{4}$$ Аргумент логарифма не может быть меньше или равн нулю. Значит, неравенству $B$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Представим $-1$ как логарифм с основанием $4{:}$ $$\log_4{x}\geq \log_4 \frac{1}{4}$$ $$x\geq \frac{1}{4}$$ Значит, неравенству $C$ соответствует решение $4).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Представим $1$ как логарифм с основанием $4{:}$ $$\log_4{x}\leq \log_44$$ $$x\leq 4$$ Аргумент логарифма не может быть меньше или равн нулю. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $A.$ Представим $2$ как логарифм с основанием $2{:}$ $$\log_2{x}\geq \log_24$$ $$x\geq 4$$ Значит, неравенству $A$ соответствует решение $4).$

Решим неравенство под буквой $B.$ Представим $-2$ как логарифм с основанием $2{:}$ $$\log_2{x}\leq \log_2 \frac{1}{4}$$ $$x\leq \frac{1}{4}$$ Аргумент логарифма не может быть меньше или равн нулю. Значит, неравенству $B$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Представим $-2$ как логарифм с основанием $2{:}$ $$\log_2{x}\geq \log_2 \frac{1}{4}$$ $$x\geq \frac{1}{4}$$ Значит, неравенству $C$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Представим $2$ как логарифм с основанием $2{:}$ $$\log_2{x}\leq \log_24$$ $$x\leq 4$$ Аргумент логарифма не может быть меньше или равн нулю. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $A.$ Графиком данного неравенства будет являться парабола. Ветви параболы будут направлены вверх, так как перед $x^2$ будет стоять знак плюс. Нас спрашивают, где данная парабола меньше нуля. Меньше нуля она будет в промежутке от $1$ до $2.$ Значит, неравенству $A$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $B.$ Левая часть будет положительной только в двух случаях. Если числитель и знаменатель будут оба положительны или оба отрицательны. Значит, неравенству $B$ соответствует решение $4).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Меньше нуля данное выражение будет только в случае, если $x-2$ будет меньше нуля. При этом выражение не должно быть равно нулю, поэтому точку $1$ выкалываем. Значит, неравенству $C$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Выражение будет больше нуля, если знаменатель будет больше нуля. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $A.$ Меньше нуля данное выражение будет только в случае, если $x-1$ будет меньше нуля. Значит, неравенству $A$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $B.$ Представим $\dfrac{1}{2}$ как $2$ в степени $-1{:}$ $$2^{-x}<2^{-1}$$ $$-x<-1$$ $$x>1$$ Значит, неравенству $B$ соответствует решение $4).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Представим $1$ как логарифм с основанием $2{:}$ $$\log_2{x}\geq \log_22$$ $$x\geq 2$$ Значит, неравенству $C$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Левая часть будет отрицательной только в двух случаях. Если первый множитель положительный, а второй отрицательный или наоборот. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $A.$ Больше нуля данное выражение будет только в случае, если $x-2$ и $x-3$ будут больше нуля или будут меньше нуля. Значит, неравенству $A$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $B.$ $$3^{-x+3}>3^1$$ $$-x+3>1$$ $$-x>-2$$ $$x<2$$ Значит, неравенству $B$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Представим $1$ как логарифм с основанием $3{:}$ $$\log_3{x}\geq \log_33$$ $$x\geq 3$$ Значит, неравенству $C$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Левая часть будет отрицательной только в двух случаях. Если числитель положительный, а знаменатель отрицательный или наоборот. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $4).$

Решим неравенство под буквой $A.$ Представим $1$ как логарифм с основанием $2{:}$ $$\log_2{(x-1)}< \log_22$$ $$x-1< 2$$ $$x<3$$ Аргумент логарифма должен быть больше нуля. Значит, неравенству $A$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $B.$ Представим $\dfrac{1}{9}$ как $3$ в степени $-2{:}$ $$3^{-2x}>3^{-2}$$ $$-2x>-2$$ $$x<1$$ Значит, неравенству $B$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Левая часть будет больше нуля в том случае, когда числитель будет больше нуля. Значит, неравенству $C$ соответствует решение $4).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Графиком данной функции будет парабола, ветви которой смотрят вверх. Больше нуля функция будет там, где ветви параболы выше оси $x.$ Значит, неравенству $D$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $A.$ Больше нуля данное выражение будет только в случае, если $x-5$ будет меньше нуля. Значит, неравенству $A$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $B.$ Левая часть будет меньше нуля в случае, если один из множителей будет положителен, а второй — отрицателен. Значит, неравенству $B$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Дробь будет положительной, когда числитель и знаменатель будут оба положительными или отрицательными. Значит, неравенству $C$ соответствует решение $4).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Левая часть будет больше нуля в том случае, когда числитель будет больше нуля. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $A.$ Представим правую часть в виде степени, причем основание сделаем такое же как в левой части, чтобы в дальнейшем его отбросить: $$2^{x}\geq 2^1$$ $$x\geq 1$$ Значит, неравенству $A$ соответствует решение $4).$

Решим неравенство под буквой $B.$ Представим правую часть в виде степени, причем основание сделаем такое же как в левой части, чтобы в дальнейшем его отбросить: $$0.5^{x}\geq 0.5^{-1}$$ Так как основания степеней меньше $1,$ знаки неравенства меняются на противоположные. $$x\leq -1$$ Значит, неравенству $B$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Представим правую часть в виде степени, причем основание сделаем такое же как в левой части, чтобы в дальнейшем его отбросить: $$0.5^{x}\leq 0.5^{-1}$$ Так как основания степеней меньше $1,$ знаки неравенства меняются на противоположные. $$x\geq -1$$ Значит, неравенству $C$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Представим правую часть в виде степени, причем основание сделаем такое же как в левой части, чтобы в дальнейшем его отбросить: $$2^{x}\leq 2^1$$ $$x\leq 1$$ Значит, неравенству $D$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $A.$ Левая часть будет меньше нуля в случае, если один из множителей будет положителен, а второй — отрицателен. Значит, неравенству $A$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $B.$ Дробь будет положительной, когда числитель и знаменатель будут оба положительными или отрицательными. Значит, неравенству $B$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Левая часть будет меньше нуля, когда $x-4$ будет меньше нуля. Значит, неравенству $C$ соответствует решение $4).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Данная дробь будет больше нуля, когда знаменатель будет больше нуля. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $A.$ Левая часть будет меньше нуля, когда $x-6$ будет меньше нуля. Значит, неравенству $A$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $B.$ Дробь будет положительной, когда числитель и знаменатель будут оба положительными или отрицательными. Значит, неравенству $B$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Левая часть будет меньше нуля в случае, если один из множителей будет положителен, а второй — отрицателен. Значит, неравенству $C$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Данная дробь будет больше нуля, когда знаменатель будет больше нуля. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $4).$

$а)$ Решим неравенство $A{:}$ $$2^x \geq 2$$ Так как $2 = 2^1,$ а показательная функция с основанием $2 > 1$ возрастает, то $x \geq 1.$ Это соответствует решению $1.$

$б)$ Решим неравенство $B{:}$ $$2^x \leq 2$$ Получаем $x \leq 1.$ Это соответствует решению $3.$

$в)$ Решим неравенство $C{:}$ $$0.5^x \leq 2$$ Так как $0.5 = \dfrac{1}{2} = 2^{-1},$ то $2^{-x} \leq 2^1,$ откуда $-x \leq 1$ и $x \geq -1.$ Это соответствует решению $4.$

$г)$ Решим неравенство $D{:}$ $$0.5^x \geq 2$$ Получаем $2^{-x} \geq 2^1,$ откуда $-x \geq 1$ и $x \leq -1.$ Это соответствует решению $2.$

$а)$ Решим неравенство $A{:}$ $$\log_2 x > 1$$ Учитывая область определения $x > 0$ и возрастание логарифма с основанием $2 > 1,$ получаем $x > 2^1 = 2.$ Это соответствует решению $4.$

$б)$ Решим неравенство $B{:}$ $$\log_2 x < -1$$ При $x > 0$ получаем $x < 2^{-1} = \dfrac{1}{2}.$ Это соответствует решению $1.$

$в)$ Решим неравенство $C{:}$ $$\log_2 x > -1$$ При $x > 0$ получаем $x > 2^{-1} = \dfrac{1}{2}.$ Это соответствует решению $2.$

$г)$ Решим неравенство $D{:}$ $$\log_2 x < 1$$ При $x > 0$ получаем $x < 2^1 = 2.$ Это соответствует решению $3.$

$а)$ Решим неравенство $A{:}$ $$(x-3)(x+2) > 0$$ Критические точки${:}$ $x = -2,$ $x = 3.$ Метод интервалов дает${:}$ $x < -2$ или $x > 3.$
Это соответствует решению $2.$

$б)$ Решим неравенство $B{:}$ $$\dfrac{x+1}{x-4} < 0$$ Критические точки${:}$ $x = -1,$ $x = 4.$ Метод интервалов дает${:}$ $-1 < x < 4.$
Это соответствует решению $4.$

$в)$ Решим неравенство $C{:}$ $$x^2-9 \leq 0$$ Разложим на множители${:}$ $(x-3)(x+3) \leq 0.$ Критические точки${:}$ $x = -3,$ $x = 3.$ Решение${:}$ $-3 \leq x \leq 3.$
Это соответствует решению $3.$

$г)$ Решим неравенство $D{:}$ $$\dfrac{2x-6}{x+3} \geq 0$$ Упростим${:}$ $\dfrac{2(x-3)}{x+3} \geq 0.$ Критические точки${:}$ $x = -3,$ $x = 3.$ Учитывая знаки и нестрогое неравенство${:}$ $x < -3$ или $x \geq 3.$
Это соответствует решению $1.$

$а)$ Решим неравенство $A{:}$ $$3^{x-1} > 9$$ Представим $9 = 3^2{:}$ $3^{x-1} > 3^2.$ Так как основание $3 > 1,$ то $x-1 > 2,$ откуда $x > 3.$ Это соответствует решению $2.$

$б)$ Решим неравенство $B{:}$ $$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x+2} < 4$$ Представим $4 = 2^2 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}{:}$ $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x+2} < \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}.$ Так как основание $0 < \dfrac{1}{2} < 1,$ знак неравенства меняется${:}$ $x+2 > -2,$ откуда $x > -4.$ Это соответствует решению $3.$

$в)$ Решим неравенство $C{:}$ $$5^{2x} \geq 125$$ Представим $125 = 5^3{:}$ $5^{2x} \geq 5^3.$ Так как основание $5 > 1,$ то $2x \geq 3,$ откуда $x \geq \dfrac{3}{2}.$ Это соответствует решению $1.$

$г)$ Решим неравенство $D{:}$ $$0.2^{x-1} \leq 25$$ Представим $0.2 = \dfrac{1}{5} = 5^{-1}$ и $25 = 5^2{:}$ $(5^{-1})^{x-1} \leq 5^2,$ $5^{-x+1} \leq 5^2.$ Так как основание $5 > 1,$ то $-x+1 \leq 2,$ откуда $-x \leq 1,$ $x \geq -1.$ Это соответствует решению $4.$

$а)$ Решим неравенство $A{:}$ $$\log_2 x > 3$$ Область определения${:}$ $x > 0.$ Так как основание $2 > 1,$ то $x > 2^3 = 8.$ Это соответствует решению $1.$

$б)$ Решим неравенство $B{:}$ $$\log_{0.5} x < -1$$ Область определения${:}$ $x > 0.$ Так как основание $0 < 0.5 < 1,$ то $x > 0.5^{-1} = 2.$ Это соответствует решению $2.$

$в)$ Решим неравенство $C{:}$ $$\log_3 (x-2) \geq 2$$ Область определения${:}$ $x-2 > 0$ $\Rightarrow$ $x > 2.$ Так как основание $3 > 1,$ то $x-2 \geq 3^2 = 9,$ откуда $x \geq 11.$ Это соответствует решению $3.$

$г)$ Решим неравенство $D{:}$ $$\log_{0.25} (x+1) \leq -1$$ Область определения${:}$ $x+1 > 0$ $\Rightarrow$ $x > -1.$ Так как основание $0 < 0.25 < 1,$ то $x+1 \geq 0.25^{-1} = 4,$ откуда $x \geq 3.$ Это соответствует решению $4.$

$а)$ Решим неравенство $A{:}$ $$4^x > 16$$
Представим $4 = 2^2$ и $16 = 2^4{:}$ $(2^2)^x > 2^4,$ $2^{2x} > 2^4.$
Так как основание $2 > 1,$ показательная функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется${:}$ $2x > 4,$ откуда $x > 2.$
Это соответствует решению $2.$

$б)$ Решим неравенство $B{:}$ $$\left(\dfrac{1}{3}\right)^x < 9$$
Представим $9 = 3^2 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}{:}$ $\left(\dfrac{1}{3}\right)^x < \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}.$
Так как основание $0 < \dfrac{1}{3} < 1,$ показательная функция убывает, поэтому знак неравенства меняется${:}$ $x > -2.$
Это соответствует решению $3.$

$в)$ Решим неравенство $C{:}$ $$2^{x-1} \geq 8$$
Представим $8 = 2^3{:}$ $2^{x-1} \geq 2^3.$
Так как основание $2 > 1,$ показательная функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется${:}$ $x-1 \geq 3,$ откуда $x \geq 4.$
Это соответствует решению $1.$

$г)$ Решим неравенство $D{:}$ $$0.5^{x+2} \leq 4$$
Представим $0.5 = \dfrac{1}{2} = 2^{-1}$ и $4 = 2^2{:}$ $(2^{-1})^{x+2} \leq 2^2,$ $2^{-x-2} \leq 2^2.$
Так как основание $2 > 1,$ показательная функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется${:}$ $-x-2 \leq 2,$ откуда $-x \leq 4,$ $x \geq -4.$
Это соответствует решению $4.$

$а)$ Решим неравенство $A{:}$ $$\dfrac{x-2}{x+1} > 0$$
Критические точки${:}$ $x = -1,$ $x = 2.$
Метод интервалов дает${:}$ $x < -1$ или $x > 2.$
Это соответствует решению $1.$

$б)$ Решим неравенство $B{:}$ $$\dfrac{x+3}{x-4} \leq 0$$
Критические точки${:}$ $x = -3,$ $x = 4.$
Учитывая нестрогое неравенство${:}$ $-3 \leq x < 4.$
Это соответствует решению $2.$

$в)$ Решим неравенство $C{:}$ $$\dfrac{x^2-9}{x-2} \geq 0$$
Разложим числитель${:}$ $\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-2} \geq 0.$
Критические точки${:}$ $x = -3,$ $x = 2,$ $x = 3.$
Метод интервалов дает${:}$ $-3 \leq x < 2$ или $x \geq 3.$
Это соответствует решению $3.$

$г)$ Решим неравенство $D{:}$ $$\dfrac{3-x}{x^2-16} < 0$$
Разложим знаменатель${:}$ $\dfrac{3-x}{(x-4)(x+4)} < 0.$
Критические точки${:}$ $x = -4,$ $x = 3,$ $x = 4.$
Метод интервалов дает${:}$ $x < -4$ или $3 < x < 4.$
Это соответствует решению $4.$