18. Неравенства: Решение неравенств

Приведем неравенство $A$ к равносильному неравенству. Так как основания у обоих частей одинаковые и больше единицы, можно их отбросить: $$2^x \geq 2^1 \Leftrightarrow x \geq1 $$ Аналогичным образом решим неравенство $B{:}$ $$2^x \leq 2^1 \Leftrightarrow x\leq1$$
Приведем обе части неравенства $C$ к одному основанию: $$0.5^x \leq 2 \Leftrightarrow \Big(\frac{1}{2}\Big)^x \leq 2$$ $$\Big(\frac{1}{2}\Big)^x\leq 2 \Leftrightarrow 2^{-x}\leq 2^1$$ Так как основания у обоих частей одинаковые и больше единицы, можно их отбросить: $$-x \leq 1 \Leftrightarrow x \geq -1$$
Аналогичным образом решим неравенство $D{:}$ $$0.5 x\geq 2 \Leftrightarrow \Big(\frac{1}{2}\Big)^x\geq 2$$ $$\Big(\frac{1}{2}\Big)^x\geq 2\Leftrightarrow 2^{-x}\geq 2^1$$ $$-x\geq 1 \Leftrightarrow x \leq -1$$

Представим $1$ и $-1$ в виде логарифмов с основанием $2:$ $$1=\log_22$$ $$-1=\log_2\dfrac{1}{2}$$ Так как основания логарифмов одинаковые и больше $1,$ данные неравенства можно заменит на равносильные: $$\log_2x>\log_22$$ $$x>2$$ Значит, $A-4).$
$$\log_2x<\log_2\dfrac{1}{2}$$ $$x<\dfrac{1}{2}$$ Аргумент логарифма должен быть больше нуля. Значит, $B-1).$
$$\log_2x>\log_2\dfrac{1}{2}$$ $$x>\dfrac{1}{2}$$ Значит, $C-2).$
$$\log_2x<\log_22$$ $$x<2$$ Аргумент логарифма должен быть больше нуля. Значит, $D-3).$

Решим неравенство под буквой $A.$ Представим $1$ как логарифм с основанием $3{:}$ $$\log_3{x}\geq \log_33$$ $$x\geq 3$$ Значит, неравенству $A$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $B.$ Представим $-1$ как логарифм с основанием $3{:}$ $$\log_3{x}\leq \log_3 \frac{1}{3}$$ $$x\leq \frac{1}{3}$$ Аргумент логарифма не может быть меньше или равн нулю. Значит, неравенству $B$ соответствует решение $4).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Представим $-1$ как логарифм с основанием $3{:}$ $$\log_3{x}\geq \log_3 \frac{1}{3}$$ $$x\geq \frac{1}{3}$$ Значит, неравенству $C$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Представим $1$ как логарифм с основанием $3{:}$ $$\log_3{x}\leq \log_33$$ $$x\leq 3$$ Аргумент логарифма не может быть меньше или равн нулю. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $A.$ Представим $1$ как логарифм с основанием $4{:}$ $$\log_4{x}\geq \log_44$$ $$x\geq 4$$ Значит, неравенству $A$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $B.$ Представим $-1$ как логарифм с основанием $4{:}$ $$\log_4{x}\leq \log_4 \frac{1}{4}$$ $$x\leq \frac{1}{4}$$ Аргумент логарифма не может быть меньше или равн нулю. Значит, неравенству $B$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Представим $-1$ как логарифм с основанием $4{:}$ $$\log_4{x}\geq \log_4 \frac{1}{4}$$ $$x\geq \frac{1}{4}$$ Значит, неравенству $C$ соответствует решение $4).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Представим $1$ как логарифм с основанием $4{:}$ $$\log_4{x}\leq \log_44$$ $$x\leq 4$$ Аргумент логарифма не может быть меньше или равн нулю. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $A.$ Представим $2$ как логарифм с основанием $2{:}$ $$\log_2{x}\geq \log_24$$ $$x\geq 4$$ Значит, неравенству $A$ соответствует решение $4).$

Решим неравенство под буквой $B.$ Представим $-2$ как логарифм с основанием $2{:}$ $$\log_2{x}\leq \log_2 \frac{1}{4}$$ $$x\leq \frac{1}{4}$$ Аргумент логарифма не может быть меньше или равн нулю. Значит, неравенству $B$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Представим $-2$ как логарифм с основанием $2{:}$ $$\log_2{x}\geq \log_2 \frac{1}{4}$$ $$x\geq \frac{1}{4}$$ Значит, неравенству $C$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Представим $2$ как логарифм с основанием $2{:}$ $$\log_2{x}\leq \log_24$$ $$x\leq 4$$ Аргумент логарифма не может быть меньше или равн нулю. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $A.$ Графиком данного неравенства будет являться парабола. Ветви параболы будут направлены вверх, так как перед $x^2$ будет стоять знак плюс. Нас спрашивают, где данная парабола меньше нуля. Меньше нуля она будет в промежутке от $1$ до $2.$ Значит, неравенству $A$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $B.$ Левая часть будет положительной только в двух случаях. Если числитель и знаменатель будут оба положительны или оба отрицательны. Значит, неравенству $B$ соответствует решение $4).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Меньше нуля данное выражение будет только в случае, если $x-2$ будет меньше нуля. При этом выражение не должно быть равно нулю, поэтому точку $1$ выкалываем. Значит, неравенству $C$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Выражение будет больше нуля, если знаменатель будет больше нуля. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $A.$ Меньше нуля данное выражение будет только в случае, если $x-1$ будет меньше нуля. Значит, неравенству $A$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $B.$ Представим $\dfrac{1}{2}$ как $2$ в степени $-1{:}$ $$2^{-x}<2^{-1}$$ $$-x<-1$$ $$x>1$$ Значит, неравенству $B$ соответствует решение $4).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Представим $1$ как логарифм с основанием $2{:}$ $$\log_2{x}\geq \log_22$$ $$x\geq 2$$ Значит, неравенству $C$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Левая часть будет отрицательной только в двух случаях. Если первый множитель положительный, а второй отрицательный или наоборот. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $A.$ Больше нуля данное выражение будет только в случае, если $x-2$ и $x-3$ будут больше нуля или будут меньше нуля. Значит, неравенству $A$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $B.$ $$3^{-x+3}>3^1$$ $$-x+3>1$$ $$-x>-2$$ $$x<2$$ Значит, неравенству $B$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Представим $1$ как логарифм с основанием $3{:}$ $$\log_3{x}\geq \log_33$$ $$x\geq 3$$ Значит, неравенству $C$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Левая часть будет отрицательной только в двух случаях. Если числитель положительный, а знаменатель отрицательный или наоборот. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $4).$

Решим неравенство под буквой $A.$ Представим $1$ как логарифм с основанием $2{:}$ $$\log_2{(x-1)}< \log_22$$ $$x-1< 2$$ $$x<3$$ Аргумент логарифма должен быть больше нуля. Значит, неравенству $A$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $B.$ Представим $\dfrac{1}{9}$ как $3$ в степени $-2{:}$ $$3^{-2x}>3^{-2}$$ $$-2x>-2$$ $$x<1$$ Значит, неравенству $B$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Левая часть будет больше нуля в том случае, когда числитель будет больше нуля. Значит, неравенству $C$ соответствует решение $4).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Графиком данной функции будет парабола, ветви которой смотрят вверх. Больше нуля функция будет там, где ветви параболы выше оси $x.$ Значит, неравенству $D$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $A.$ Больше нуля данное выражение будет только в случае, если $x-5$ будет меньше нуля. Значит, неравенству $A$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $B.$ Левая часть будет меньше нуля в случае, если один из множителей будет положителен, а второй — отрицателен. Значит, неравенству $B$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Дробь будет положительной, когда числитель и знаменатель будут оба положительными или отрицательными. Значит, неравенству $C$ соответствует решение $4).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Левая часть будет больше нуля в том случае, когда числитель будет больше нуля. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $A.$ Представим правую часть в виде степени, причем основание сделаем такое же как в левой части, чтобы в дальнейшем его отбросить: $$2^{x}\geq 2^1$$ $$x\geq 1$$ Значит, неравенству $A$ соответствует решение $4).$

Решим неравенство под буквой $B.$ Представим правую часть в виде степени, причем основание сделаем такое же как в левой части, чтобы в дальнейшем его отбросить: $$0.5^{x}\geq 0.5^{-1}$$ Так как основания степеней меньше $1,$ знаки неравенства меняются на противоположные. $$x\leq -1$$ Значит, неравенству $B$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Представим правую часть в виде степени, причем основание сделаем такое же как в левой части, чтобы в дальнейшем его отбросить: $$0.5^{x}\leq 0.5^{-1}$$ Так как основания степеней меньше $1,$ знаки неравенства меняются на противоположные. $$x\geq -1$$ Значит, неравенству $C$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Представим правую часть в виде степени, причем основание сделаем такое же как в левой части, чтобы в дальнейшем его отбросить: $$2^{x}\leq 2^1$$ $$x\leq 1$$ Значит, неравенству $D$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $A.$ Левая часть будет меньше нуля в случае, если один из множителей будет положителен, а второй — отрицателен. Значит, неравенству $A$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $B.$ Дробь будет положительной, когда числитель и знаменатель будут оба положительными или отрицательными. Значит, неравенству $B$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Левая часть будет меньше нуля, когда $x-4$ будет меньше нуля. Значит, неравенству $C$ соответствует решение $4).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Данная дробь будет больше нуля, когда знаменатель будет больше нуля. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $A.$ Левая часть будет меньше нуля, когда $x-6$ будет меньше нуля. Значит, неравенству $A$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $B.$ Дробь будет положительной, когда числитель и знаменатель будут оба положительными или отрицательными. Значит, неравенству $B$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Левая часть будет меньше нуля в случае, если один из множителей будет положителен, а второй — отрицателен. Значит, неравенству $C$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Данная дробь будет больше нуля, когда знаменатель будет больше нуля. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $4).$