18. Неравенства: #214859

$а)$ Решим неравенство $A{:}$ $$4^x > 16$$
Представим $4 = 2^2$ и $16 = 2^4{:}$ $(2^2)^x > 2^4,$ $2^{2x} > 2^4.$
Так как основание $2 > 1,$ показательная функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется${:}$ $2x > 4,$ откуда $x > 2.$
Это соответствует решению $2.$

$б)$ Решим неравенство $B{:}$ $$\left(\dfrac{1}{3}\right)^x < 9$$
Представим $9 = 3^2 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}{:}$ $\left(\dfrac{1}{3}\right)^x < \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}.$
Так как основание $0 < \dfrac{1}{3} < 1,$ показательная функция убывает, поэтому знак неравенства меняется${:}$ $x > -2.$
Это соответствует решению $3.$

$в)$ Решим неравенство $C{:}$ $$2^{x-1} \geq 8$$
Представим $8 = 2^3{:}$ $2^{x-1} \geq 2^3.$
Так как основание $2 > 1,$ показательная функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется${:}$ $x-1 \geq 3,$ откуда $x \geq 4.$
Это соответствует решению $1.$

$г)$ Решим неравенство $D{:}$ $$0.5^{x+2} \leq 4$$
Представим $0.5 = \dfrac{1}{2} = 2^{-1}$ и $4 = 2^2{:}$ $(2^{-1})^{x+2} \leq 2^2,$ $2^{-x-2} \leq 2^2.$
Так как основание $2 > 1,$ показательная функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется${:}$ $-x-2 \leq 2,$ откуда $-x \leq 4,$ $x \geq -4.$
Это соответствует решению $4.$