18. Неравенства: все задания

Приведем неравенство $A$ к равносильному неравенству. Так как основания у обоих частей одинаковые и больше единицы, можно их отбросить: $$2^x \geq 2^1 \Leftrightarrow x \geq1 $$ Аналогичным образом решим неравенство $B{:}$ $$2^x \leq 2^1 \Leftrightarrow x\leq1$$
Приведем обе части неравенства $C$ к одному основанию: $$0.5^x \leq 2 \Leftrightarrow \Big(\frac{1}{2}\Big)^x \leq 2$$ $$\Big(\frac{1}{2}\Big)^x\leq 2 \Leftrightarrow 2^{-x}\leq 2^1$$ Так как основания у обоих частей одинаковые и больше единицы, можно их отбросить: $$-x \leq 1 \Leftrightarrow x \geq -1$$
Аналогичным образом решим неравенство $D{:}$ $$0.5 x\geq 2 \Leftrightarrow \Big(\frac{1}{2}\Big)^x\geq 2$$ $$\Big(\frac{1}{2}\Big)^x\geq 2\Leftrightarrow 2^{-x}\geq 2^1$$ $$-x\geq 1 \Leftrightarrow x \leq -1$$

Представим $1$ и $-1$ в виде логарифмов с основанием $2:$ $$1=\log_22$$ $$-1=\log_2\dfrac{1}{2}$$ Так как основания логарифмов одинаковые и больше $1,$ данные неравенства можно заменит на равносильные: $$\log_2x>\log_22$$ $$x>2$$ Значит, $A-4).$
$$\log_2x<\log_2\dfrac{1}{2}$$ $$x<\dfrac{1}{2}$$ Аргумент логарифма должен быть больше нуля. Значит, $B-1).$
$$\log_2x>\log_2\dfrac{1}{2}$$ $$x>\dfrac{1}{2}$$ Значит, $C-2).$
$$\log_2x<\log_22$$ $$x<2$$ Аргумент логарифма должен быть больше нуля. Значит, $D-3).$

Определим примерное значение $m.$ Так как $m$ находится между $1$ и $2,$ но ближе к $1,$ примем ее значение за $1.3.$

Рассчитаем значение первого выражения: $$\sqrt{1.3}-1 \approx 0.1$$ Этому значению соответствует точка $B$ на рисунке, значит, $1)-B.$

Рассчитаем значение второго выражения: $$1.3^2 =1.69$$ Этому значению соответствует точка $C$ на рисунке, значит, $2)-C.$

Рассчитаем значение третьего выражения: $$1.3-2 = -0.7$$ Этому значению соответствует точка $A$ на рисунке, значит, $3)-A.$

Рассчитаем значение четвертого выражения: $$\dfrac{4}{1.3} \approx 3$$ Этому значению соответствует точка $D$ на рисунке, значит, $4)-D.$

Определим примерное значение $m.$ Так как $m$ находится между $-1$ и $0,$ но ближе к $-1,$ примем ее значение за $-0.8.$

Рассчитаем значение первого выражения: $$\sqrt{6-(-0.8)} \approx 2.6$$ Этому значению соответствует точка $C$ на рисунке, значит, $1)-C.$

Рассчитаем значение второго выражения: $$(-0.8)^2 =0.64$$ Этому значению соответствует точка $B$ на рисунке, значит, $2)-B.$

Рассчитаем значение третьего выражения: $$-0.8-1 = -1.8$$ Этому значению соответствует точка $A$ на рисунке, значит, $3)-A.$

Рассчитаем значение четвертого выражения: $$-\dfrac{3}{-0.8} = 3.75$$ Ближе всего к этому значению точка $D$ на рисунке, значит, $4)-D.$

Определим примерное значение $m.$ Так как $m$ находится между $1$ и $2,$ но ближе к $1,$ примем ее значение за $1.4.$

Рассчитаем значение первого выражения: $$6-1.4 = 4.6$$ Этому значению соответствует точка $D$ на рисунке, значит, $1)-D.$

Рассчитаем значение второго выражения: $$1.4^2 =1.96$$ Этому значению соответствует точка $C$ на рисунке, значит, $2)-C.$

Рассчитаем значение третьего выражения: $$1.4-1 = 0.4$$ Этому значению соответствует точка $B$ на рисунке, значит, $3)-B.$

Рассчитаем значение четвертого выражения: $$-\dfrac{2}{1.4} \approx -1.4$$ Этому значению соответствует точка $A$ на рисунке, значит, $4)-A.$

Определим примерное значение $m.$ Так как $m$ находится между $0$ и $1,$ но ближе к $0,$ примем ее значение за $0.4.$

Рассчитаем значение первого выражения: $$0.4-1 = -0.6$$ Этому значению соответствует точка $B$ на рисунке, значит, $1)-B.$

Рассчитаем значение второго выражения: $$0.4^2 =0.16$$ Этому значению соответствует точка $C$ на рисунке, значит, $2)-C.$

Рассчитаем значение третьего выражения: $$4 \cdot 0.4 = 1.6$$ Этому значению соответствует точка $D$ на рисунке, значит, $3)-D.$

Рассчитаем значение четвертого выражения: $$-\dfrac{1}{0.4} = -2.5$$ Этому значению соответствует точка $A$ на рисунке, значит, $4)-A.$

Определим примерное значение $m.$ Так как $m$ находится между $-2$ и $3,$ примем ее значение за $-2.5.$

Рассчитаем значение первого выражения: $$\dfrac{-2.5}{10} = -0.25$$ Этому значению соответствует точка $B$ на рисунке, значит, $1)-B.$

Рассчитаем значение второго выражения: $$(-2.5)^2-3 =3.25$$ Этому значению соответствует точка $D$ на рисунке, значит, $2)-D.$

Рассчитаем значение третьего выражения: $$-\sqrt{-(-2.5))} \approx -1.5$$ Этому значению соответствует точка $A$ на рисунке, значит, $3)-A.$

Рассчитаем значение четвертого выражения: $$-\dfrac{1}{-2.5} = 0.4$$ Этому значению соответствует точка $C$ на рисунке, значит, $4)-C.$

Определим примерное значение $m.$ Так как $m$ находится между $0$ и $1,$ но ближе к $1,$ примем ее значение за $0.9.$

Рассчитаем значение первого выражения: $$4-0.9 = 3.1$$ Этому значению соответствует точка $D$ на рисунке, значит, $1)-D.$

Рассчитаем значение второго выражения: $$0.9^2 =0.81$$ Этому значению соответствует точка $B$ на рисунке, значит, $2)-B.$

Рассчитаем значение третьего выражения: $$\sqrt{0.9+1} \approx 1.4$$ Этому значению соответствует точка $C$ на рисунке, значит, $3)-C.$

Рассчитаем значение четвертого выражения: $$-\dfrac{2}{0.9} \approx -2.2$$ Этому значению соответствует точка $A$ на рисунке, значит, $4)-A.$

Решим неравенство под буквой $A.$ Представим $1$ как логарифм с основанием $3{:}$ $$\log_3{x}\geq \log_33$$ $$x\geq 3$$ Значит, неравенству $A$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $B.$ Представим $-1$ как логарифм с основанием $3{:}$ $$\log_3{x}\leq \log_3 \frac{1}{3}$$ $$x\leq \frac{1}{3}$$ Аргумент логарифма не может быть меньше или равн нулю. Значит, неравенству $B$ соответствует решение $4).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Представим $-1$ как логарифм с основанием $3{:}$ $$\log_3{x}\geq \log_3 \frac{1}{3}$$ $$x\geq \frac{1}{3}$$ Значит, неравенству $C$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Представим $1$ как логарифм с основанием $3{:}$ $$\log_3{x}\leq \log_33$$ $$x\leq 3$$ Аргумент логарифма не может быть меньше или равн нулю. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $A.$ Представим $1$ как логарифм с основанием $4{:}$ $$\log_4{x}\geq \log_44$$ $$x\geq 4$$ Значит, неравенству $A$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $B.$ Представим $-1$ как логарифм с основанием $4{:}$ $$\log_4{x}\leq \log_4 \frac{1}{4}$$ $$x\leq \frac{1}{4}$$ Аргумент логарифма не может быть меньше или равн нулю. Значит, неравенству $B$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Представим $-1$ как логарифм с основанием $4{:}$ $$\log_4{x}\geq \log_4 \frac{1}{4}$$ $$x\geq \frac{1}{4}$$ Значит, неравенству $C$ соответствует решение $4).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Представим $1$ как логарифм с основанием $4{:}$ $$\log_4{x}\leq \log_44$$ $$x\leq 4$$ Аргумент логарифма не может быть меньше или равн нулю. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $A.$ Представим $2$ как логарифм с основанием $2{:}$ $$\log_2{x}\geq \log_24$$ $$x\geq 4$$ Значит, неравенству $A$ соответствует решение $4).$

Решим неравенство под буквой $B.$ Представим $-2$ как логарифм с основанием $2{:}$ $$\log_2{x}\leq \log_2 \frac{1}{4}$$ $$x\leq \frac{1}{4}$$ Аргумент логарифма не может быть меньше или равн нулю. Значит, неравенству $B$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Представим $-2$ как логарифм с основанием $2{:}$ $$\log_2{x}\geq \log_2 \frac{1}{4}$$ $$x\geq \frac{1}{4}$$ Значит, неравенству $C$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Представим $2$ как логарифм с основанием $2{:}$ $$\log_2{x}\leq \log_24$$ $$x\leq 4$$ Аргумент логарифма не может быть меньше или равн нулю. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $A.$ Графиком данного неравенства будет являться парабола. Ветви параболы будут направлены вверх, так как перед $x^2$ будет стоять знак плюс. Нас спрашивают, где данная парабола меньше нуля. Меньше нуля она будет в промежутке от $1$ до $2.$ Значит, неравенству $A$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $B.$ Левая часть будет положительной только в двух случаях. Если числитель и знаменатель будут оба положительны или оба отрицательны. Значит, неравенству $B$ соответствует решение $4).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Меньше нуля данное выражение будет только в случае, если $x-2$ будет меньше нуля. При этом выражение не должно быть равно нулю, поэтому точку $1$ выкалываем. Значит, неравенству $C$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Выражение будет больше нуля, если знаменатель будет больше нуля. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $A.$ Меньше нуля данное выражение будет только в случае, если $x-1$ будет меньше нуля. Значит, неравенству $A$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $B.$ Представим $\dfrac{1}{2}$ как $2$ в степени $-1{:}$ $$2^{-x}<2^{-1}$$ $$-x<-1$$ $$x>1$$ Значит, неравенству $B$ соответствует решение $4).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Представим $1$ как логарифм с основанием $2{:}$ $$\log_2{x}\geq \log_22$$ $$x\geq 2$$ Значит, неравенству $C$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Левая часть будет отрицательной только в двух случаях. Если первый множитель положительный, а второй отрицательный или наоборот. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $A.$ Больше нуля данное выражение будет только в случае, если $x-2$ и $x-3$ будут больше нуля или будут меньше нуля. Значит, неравенству $A$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $B.$ $$3^{-x+3}>3^1$$ $$-x+3>1$$ $$-x>-2$$ $$x<2$$ Значит, неравенству $B$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Представим $1$ как логарифм с основанием $3{:}$ $$\log_3{x}\geq \log_33$$ $$x\geq 3$$ Значит, неравенству $C$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Левая часть будет отрицательной только в двух случаях. Если числитель положительный, а знаменатель отрицательный или наоборот. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $4).$

Решим неравенство под буквой $A.$ Представим $1$ как логарифм с основанием $2{:}$ $$\log_2{(x-1)}< \log_22$$ $$x-1< 2$$ $$x<3$$ Аргумент логарифма должен быть больше нуля. Значит, неравенству $A$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $B.$ Представим $\dfrac{1}{9}$ как $3$ в степени $-2{:}$ $$3^{-2x}>3^{-2}$$ $$-2x>-2$$ $$x<1$$ Значит, неравенству $B$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Левая часть будет больше нуля в том случае, когда числитель будет больше нуля. Значит, неравенству $C$ соответствует решение $4).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Графиком данной функции будет парабола, ветви которой смотрят вверх. Больше нуля функция будет там, где ветви параболы выше оси $x.$ Значит, неравенству $D$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $A.$ Больше нуля данное выражение будет только в случае, если $x-5$ будет меньше нуля. Значит, неравенству $A$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $B.$ Левая часть будет меньше нуля в случае, если один из множителей будет положителен, а второй — отрицателен. Значит, неравенству $B$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Дробь будет положительной, когда числитель и знаменатель будут оба положительными или отрицательными. Значит, неравенству $C$ соответствует решение $4).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Левая часть будет больше нуля в том случае, когда числитель будет больше нуля. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $A.$ Представим правую часть в виде степени, причем основание сделаем такое же как в левой части, чтобы в дальнейшем его отбросить: $$2^{x}\geq 2^1$$ $$x\geq 1$$ Значит, неравенству $A$ соответствует решение $4).$

Решим неравенство под буквой $B.$ Представим правую часть в виде степени, причем основание сделаем такое же как в левой части, чтобы в дальнейшем его отбросить: $$0.5^{x}\geq 0.5^{-1}$$ Так как основания степеней меньше $1,$ знаки неравенства меняются на противоположные. $$x\leq -1$$ Значит, неравенству $B$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Представим правую часть в виде степени, причем основание сделаем такое же как в левой части, чтобы в дальнейшем его отбросить: $$0.5^{x}\leq 0.5^{-1}$$ Так как основания степеней меньше $1,$ знаки неравенства меняются на противоположные. $$x\geq -1$$ Значит, неравенству $C$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Представим правую часть в виде степени, причем основание сделаем такое же как в левой части, чтобы в дальнейшем его отбросить: $$2^{x}\leq 2^1$$ $$x\leq 1$$ Значит, неравенству $D$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $A.$ Левая часть будет меньше нуля в случае, если один из множителей будет положителен, а второй — отрицателен. Значит, неравенству $A$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $B.$ Дробь будет положительной, когда числитель и знаменатель будут оба положительными или отрицательными. Значит, неравенству $B$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Левая часть будет меньше нуля, когда $x-4$ будет меньше нуля. Значит, неравенству $C$ соответствует решение $4).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Данная дробь будет больше нуля, когда знаменатель будет больше нуля. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $A.$ Левая часть будет меньше нуля, когда $x-6$ будет меньше нуля. Значит, неравенству $A$ соответствует решение $3).$

Решим неравенство под буквой $B.$ Дробь будет положительной, когда числитель и знаменатель будут оба положительными или отрицательными. Значит, неравенству $B$ соответствует решение $2).$

Решим неравенство под буквой $C.$ Левая часть будет меньше нуля в случае, если один из множителей будет положителен, а второй — отрицателен. Значит, неравенству $C$ соответствует решение $1).$

Решим неравенство под буквой $D.$ Данная дробь будет больше нуля, когда знаменатель будет больше нуля. Значит, неравенству $D$ соответствует решение $4).$

Найдем примерные значения корней: $$\sqrt{10} \approx 3.2$$ $$\sqrt{2} \approx 1.4$$

Вычислим значение первого выражения: $$3.2+1.4 = 4.6$$ Данному значению соответствует точка $D$ на координатной прямой. Значит, $D-1.$

Вычислим значение второго выражения: $$3.2:1.4 \approx 2.3$$ Данному значению соответствует точка $B$ на координатной прямой. Значит, $B-2.$

Вычислим значение третьего выражения: $$3.2-2\cdot 1.4 = 0.4$$ Данному значению соответствует точка $A$ на координатной прямой. Значит, $A-3.$

Вычислим значение четвертого выражения: $$1.4^3+1 \approx 3.7 $$ Данному значению соответствует точка $C$ на координатной прямой. Значит, $C-4.$