3. Законы сохранения в механике: все задания

Формула кинетической энергии:
Кинетическая энергия тела связана с его массой и скоростью соотношением:
$$E_{\text{кин}} = \frac{mv^2}{2}.$$
2. Определение скорости через $3\,\text{с}$:
Подставим данные в формулу скорости:
$$v_x(3\,\text{с}) = 8\,\text{м/с} + (-2\,\text{м/с}^2) \cdot 3\,\text{с} = 8\,\text{м/с} -6\,\text{м/с} = 2\,\text{м/с}.$$
3. Вычисление кинетической энергии:
Теперь подставим массу и найденную скорость в формулу кинетической энергии:
$$E_{\text{кин}} = \frac{2\,\text{кг} \cdot (2\,\text{м/с})^2}{2} = \frac{2 \cdot 4}{2} = 4\,\text{Дж}.$$

Закон сохранения энергии:
В момент броска тело обладает кинетической энергией, а на максимальной высоте — потенциальной. По закону сохранения энергии:
$$E_{\text{кин нач}} = E_{\text{пот макс}},$$ где
$$E_{\text{кин нач}} = \frac{mv^2}{2}, \quad E_{\text{пот макс}} = mgh.$$
2. Уравнение для начальной скорости:
Приравняем энергии:
$$\frac{mv^2}{2} = mgh.$$ Масса $m$ сокращается:
$$\frac{v^2}{2} = gh.$$ Выразим начальную скорость $v$:
$$v = \sqrt{2gh}.$$
3. Подстановка данных:
Ускорение свободного падения $g = 10\,\text{м/с}^2$, высота $h = 20\,\text{м}$:
$$v = \sqrt{2 \cdot 10\,\text{м/с}^2 \cdot 20\,\text{м}} = \sqrt{400} = 20\,\text{м/с}.$$

Закон сохранения механической энергии:
Поскольку сопротивлением воздуха можно пренебречь, полная механическая энергия тела сохраняется. В начальный момент (при броске) тело обладает только кинетической энергией $E_{\text{кин}}$, а в верхней точке траектории — только потенциальной энергией $E_{\text{пот}}$. Следовательно:
$$E_{\text{кин}} = E_{\text{пот}}.$$
2. Формула потенциальной энергии:
Потенциальная энергия тела на высоте $h$ определяется выражением:
$$E_{\text{пот}} = mgh,$$ где:
$m = 1\,\text{кг}$ — масса тела,
$g = 10\,\text{м/с}^2$ — ускорение свободного падения,
$h = 20\,\text{м}$ — максимальная высота подъема.

3. Вычисление кинетической энергии:
Подставляя значения в формулу для потенциальной энергии, получаем:
$$E_{\text{пот}} = 1\,\text{кг} \cdot 10\,\text{м/с}^2 \cdot 20\,\text{м} = 200\,\text{Дж}.$$ Следовательно, кинетическая энергия тела сразу после броска равна:
$$E_{\text{кин}} = 200\,\text{Дж}.$$

Закон сохранения механической энергии:
Поскольку сопротивлением воздуха можно пренебречь, полная механическая энергия камня сохраняется. В начальный момент (на высоте $30\,\text{м}$) камень обладает только потенциальной энергией $E_{\text{пот}}$, а перед ударом о землю — только кинетической энергией $E_{\text{кин}}$. Следовательно:
$$E_{\text{пот}} = E_{\text{кин}}.$$
2. Формула потенциальной энергии:
Потенциальная энергия камня на высоте $h$ определяется выражением:
$$E_{\text{пот}} = mgh,$$ где:
— $m = 1\,\text{кг}$ — масса камня,
— $g = 10\,\text{м/с}^2$ — ускорение свободного падения,
— $h = 30\,\text{м}$ — высота падения.

3. Вычисление кинетической энергии:
Подставляя значения в формулу для потенциальной энергии, получаем:
$$E_{\text{пот}} = 1\,\text{кг} \cdot 10\,\text{м/с}^2 \cdot 30\,\text{м} = 300\,\text{Дж}.$$
Следовательно, кинетическая энергия камня перед ударом о землю равна:
$$E_{\text{кин}} = 300\,\text{Дж}.$$

Физические принципы:
— При отсутствии сопротивления воздуха выполняется закон сохранения механической энергии.
— В начальный момент тело обладает только кинетической энергией $E_k = \frac{mv_0^2}{2}$.
— В верхней точке траектории тело имеет только потенциальную энергию $E_p = mgh$.

2. Уравнение сохранения энергии:
$$\frac{mv_0^2}{2} = mgh$$
3. Преобразование уравнения:
— Сокращаем массу $m$ с обеих сторон:
$$\frac{v_0^2}{2} = gh$$
— Выражаем начальную скорость:
$$v_0 = \sqrt{2gh}$$
4. Подстановка числовых значений:
— Ускорение свободного падения $g = 10\,\text{м/с}^2$
— Высота подъема $h = 5\,\text{м}$
$$v_0 = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 5} = \sqrt{100} = 10\,\text{м/с}$$

Формула кинетической энергии:
Кинетическая энергия тела рассчитывается по формуле:
$$E_k = \frac{mv^2}{2},$$ где:
— $m$ — масса тела,
— $v$ — скорость тела.

2. Подстановка данных:
— Масса $m = 0.2\,\text{кг}$,
— Скорость $v = 1\,\text{м/с}$.
Подставляем значения в формулу:
$$E_k = \frac{0.2\,\text{кг} \cdot (1\,\text{м/с})^2}{2}$$
3. Вычисления:
— Возводим скорость в квадрат:
$$(1\,\text{м/с})^2 = 1\,\text{м}^2/\text{с}^2$$
— Умножаем массу на квадрат скорости:
$$0.2\,\text{кг} \cdot 1\,\text{м}^2/\text{с}^2 = 0{,}2\,\text{кг}\cdot\text{м}^2/\text{с}^2$$
— Делим на $2$:
$$\frac{0.2\,\text{кг}\cdot\text{м}^2/\text{с}^2}{2} = 0.1\,\text{Дж}$$

Исходные данные:
— Начальная кинетическая энергия: $E_{k0} = 2.5 \cdot 10^5\,\text{Дж}$,
— Увеличение массы: $m = 2m_0$,
— Скорость остается неизменной: $v = \text{const}$.

2. Формула кинетической энергии:
Кинетическая энергия вычисляется по формуле:
$$E_k = \frac{mv^2}{2}.$$
3. Связь энергий до и после загрузки:
— Начальная энергия:
$$E_{k0} = \frac{m_0 v^2}{2} = 2.5 \cdot 10^5\,\text{Дж}.$$
— После увеличения массы:
$$E_k = \frac{(2m_0) v^2}{2} = 2 \cdot \left(\frac{m_0 v^2}{2}\right) = 2E_{k0}.$$
4. Вычисление новой кинетической энергии:
$$E_k = 2 \cdot 2.5 \cdot 10^5\,\text{Дж} = 5 \cdot 10^5\,\text{Дж}.$$
5. Перевод в килоджоули:
$$5 \cdot 10^5\,\text{Дж} = 500\,\text{кДж}.$$

Перевод скорости в СИ:
Скорость необходимо выразить в метрах в секунду:
$$36\,\text{км/ч} = 36 \cdot \frac{1\ 000\,\text{м}}{3\ 600\,\text{с}} = 10\,\text{м/с}.$$
2. Формула кинетической энергии:
Кинетическая энергия вычисляется по формуле:
$$E_k = \frac{mv^2}{2},$$где:
— $m = 500\,\text{кг}$ — масса автомобиля,
— $v = 10\,\text{м/с}$ — скорость автомобиля.

3. Подстановка данных:
$$E_k = \frac{500\,\text{кг} \cdot (10\,\text{м/с})^2}{2}.$$
4. Вычисления:
— Квадрат скорости:
$$(10\,\text{м/с})^2 = 100\,\text{м}^2/\text{с}^2.$$
— Умножение массы на квадрат скорости:
$$500\,\text{кг} \cdot 100\,\text{м}^2/\text{с}^2 = 50\ 000\,\text{кг}\cdot\text{м}^2/\text{с}^2.$$
— Деление на $2$:
$$\frac{50\ 000\,\text{кг}\cdot\text{м}^2/\text{с}^2}{2} = 25\ 000\,\text{Дж}.$$

Формула кинетической энергии:
Кинетическая энергия вычисляется по формуле:
$$E_k = \frac{mv^2}{2},$$ где:
— $m = 0.4\,\text{кг}$ — масса груза,
— $v = 2\,\text{м/с}$ — скорость груза.

2. Подстановка значений:
$$E_k = \frac{0{,}4\,\text{кг} \cdot (2\,\text{м/с})^2}{2}.$$
3. Пошаговые вычисления:
— Возведение скорости в квадрат:
$$(2\,\text{м/с})^2 = 4\,\text{м}^2/\text{с}^2.$$
— Умножение массы на квадрат скорости:
$$0.4\,\text{кг} \cdot 4\,\text{м}^2/\text{с}^2 = 1{,}6\,\text{кг}\cdot\text{м}^2/\text{с}^2.$$
— Деление на $2$:
$$\frac{1{,}6\,\text{кг}\cdot\text{м}^2/\text{с}^2}{2} = 0{,}8\,\text{Дж}.$$

Перевод единиц:
Массу переводим в килограммы: $$m = 200\,\text{г} = 0.2\,\text{кг}.$$
2. Начальная энергия системы:
В начальный момент (на высоте $h=20\,\text{м}$) шарик обладает только потенциальной энергией:$$E_п = mgh = 0.2\,\text{кг} \cdot 10\,\text{м/с}^2 \cdot 20\,\text{м} = 40\,\text{Дж}.$$Кинетическая энергия равна нулю ($v_0=0$).

3. Учет потерь энергии:
По условию, $4\,\text{Дж}$ энергии теряется на преодоление сопротивления воздуха. Согласно закону сохранения энергии:
$$E_п = E_к + \Delta E,$$где $\Delta E = 4\,\text{Дж}$ — потери энергии.

4. Вычисление кинетической энергии:
$$E_к = E_п — \Delta E = 40\,\text{Дж} — 4\,\text{Дж} = 36\,\text{Дж}.

Запишем выражения для кинетических энергий:
— Для первого тела:
$$E_{k1} = \frac{m_1 v^2}{2}$$ — Для второго тела:
$$E_{k2} = \frac{m_2 v^2}{2}$$
2. Учтем условие задачи:
Кинетическая энергия первого тела в 4 раза меньше:
$$E_{k2} = 4 E_{k1}$$
3. Подставим выражения для энергий:
$$\frac{m_2 v^2}{2} = 4 \cdot \frac{m_1 v^2}{2}$$
4. Упростим уравнение:
— Сократим общие множители ($\frac{v^2}{2}$):
$$m_2 = 4 m_1$$ — Выразим искомое отношение:
$$\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{4} = 0.25$$

Применяем закон сохранения механической энергии:
Полная механическая энергия системы сохраняется:
$$E_{\text{полн}} = E_{\text{кин}} + E_{\text{пот}} = \text{const}$$
2. Анализируем энергетические состояния:
— В момент броска (у поверхности Земли):
$$E_{\text{пот}} = 0$$$$E_{\text{кин}} = \frac{mv^2}{2}$$ — В верхней точке траектории:
$$E_{\text{кин}} = 0$$ $$E_{\text{пот}} = mgh$$
3. Приравниваем энергии:
$$\frac{mv^2}{2} = mgh$$
4. Вычисляем кинетическую энергию:
$$E_{\text{кин}} = mgh = 1\,\text{кг} \cdot 10\,\text{м/с}^2 \cdot 20\,\text{м} = 200\,\text{Дж}$$

Перевод единиц:
Высоту переводим в метры:
$$h = 80\,\text{см} = 0.8\,\text{м}.$$
2. Закон сохранения энергии:
В начальный момент шайба обладает только потенциальной энергией:
$$E_{\text{пот}} = mgh.$$
В конце спуска вся потенциальная энергия переходит в кинетическую:
$$E_{\text{кин}} = \frac{mv^2}{2}.$$
Согласно закону сохранения энергии:
$$mgh = \frac{mv^2}{2}.$$
3. Вычисление скорости:
Масса $m$ сокращается:
$$gh = \frac{v^2}{2}.$$
Выражаем скорость:
$$v = \sqrt{2gh}.$$
Подставляем значения:
$$v = \sqrt{2 \cdot 10\,\text{м/с}^2 \cdot 0.8\,\text{м}} = \sqrt{16} = 4\,\text{м/с}.$$

Перевод единиц:
Массу переводим в килограммы:
$$m = 10\,\text{г} = 0.01\,\text{кг}.$$
2. Закон сохранения энергии:
В начальный момент (у основания плоскости) шайба обладает только кинетической энергией:
$$E_{\text{кин}} = 0.04\,\text{Дж}.$$
На максимальной высоте $h$ скорость шайбы становится равной нулю, и вся кинетическая энергия переходит в потенциальную:
$$E_{\text{пот}} = mgh.$$
Согласно закону сохранения энергии:
$$mgh = E_{\text{кин}}.$$
3. Вычисление высоты:
Выражаем высоту $h$:
$$h = \frac{E_{\text{кин}}}{mg} = \frac{0.04\,\text{Дж}}{0.01\,\text{кг} \cdot 10\,\text{м/с}^2} = 0.4\,\text{м}.$$

Формула кинетической энергии:
Кинетическая энергия вычисляется по формуле:
$$E_{\text{кин}} = \frac{mv^2}{2},$$
где: — $m = 0.4\,\text{кг}$ — масса груза,
— $v = 3\,\text{м/с}$ — скорость груза.

2. Подстановка значений:
$$E_{\text{кин}} = \frac{0.4\,\text{кг} \cdot (3\,\text{м/с})^2}{2}$$
3. Вычисления:
— Возводим скорость в квадрат:
$$(3\,\text{м/с})^2 = 9\,\text{м}^2/\text{с}^2$$ — Умножаем массу на квадрат скорости:
$$0.4\,\text{кг} \cdot 9\,\text{м}^2/\text{с}^2 = 3.6\,\text{кг}\cdot\text{м}^2/\text{с}^2$$
— Делим на $2$:
$$\frac{3.6\,\text{Дж}}{2} = 1.8\,\text{Дж}$$

Перевод единиц:
— Масса: $m = 100\,\text{г} = 0.1\,\text{кг}$.
— Высота: $h = 100\,\text{м}$.

2. Расчет потенциальной энергии:
В начальный момент шарик обладает потенциальной энергией:
$$E_{\text{пот}} = mgh = 0.1\,\text{кг} \cdot 10\,\text{м/с}^2 \cdot 100\,\text{м} = 100\,\text{Дж}.$$
3. Учет потерь энергии:
По условию, $20\,\text{Дж}$ теряется на сопротивление воздуха. Согласно закону сохранения энергии:
$$E_{\text{кин}} = E_{\text{пот}} -\Delta E = 100\,\text{Дж} -20\,\text{Дж} = 80\,\text{Дж}.$$

Перевод единиц массы:
Массу переводим в килограммы:
$$m = 40\,\text{г} = 0.04\,\text{кг}.$$
2. Применение закона сохранения энергии:
— В начальном положении шайба обладает только кинетической энергией: $$E_{\text{кин}} = \frac{mv^2}{2}.$$ — В конечном положении (на высоте $h = 0.2\,\text{м}$) скорость шайбы равна нулю, и вся кинетическая энергия переходит в потенциальную:
$$E_{\text{пот}} = mgh.$$
3. Вычисление кинетической энергии:
По закону сохранения энергии:
$$E_{\text{кин}} = E_{\text{пот}} = mgh.$$
Подставляем значения:
$$E_{\text{кин}} = 0.04\,\text{кг} \cdot 10\,\text{м/с}^2 \cdot 0.2\,\text{м} = 0.08\,\text{Дж}.$$

Определение высоты спуска:
Высота $h$, на которой находился автомобиль в начале движения, рассчитывается через пройденное расстояние $l = 10\,\text{м}$ и угол наклона $\alpha = 30^\circ$:
$$h = l \cdot \sin\alpha = 10\,\text{м} \cdot \sin 30^\circ = 10\,\text{м} \cdot 0.5 = 5\,\text{м}.$$
2. Применение закона сохранения энергии:
— В начальный момент (на высоте $h$) автомобиль обладает потенциальной энергией:$$E_{\text{пот}} = mgh.$$
— На горизонтальном участке (высота $h = 0$) вся потенциальная энергия переходит в кинетическую: $$E_{\text{кин}} = \frac{mv^2}{2}.$$
3. Уравнение сохранения энергии:
$$mgh = \frac{mv^2}{2}.$$
4. Вычисление скорости:
— Сокращаем массу $m$: $$gh = \frac{v^2}{2}.$$
— Выражаем скорость: $$v = \sqrt{2gh}.$$
— Подставляем значения: $$v = \sqrt{2 \cdot 10\,\text{м/с}^2 \cdot 5\,\text{м}} = \sqrt{100} = 10\,\text{м/с}.$$

Перевод единиц массы:
$$m = 100\,\text{г} = 0.1\,\text{кг}$$
2. Анализ энергетических изменений:
— Начальная энергия (потенциальная): $$E_{\text{нач}} = mgh$$
— Конечная энергия (кинетическая): $$E_{\text{кон}} = 6\,\text{Дж}$$
— Потери энергии: $$\Delta E = 1\,\text{Дж}$$
3. Применение закона сохранения энергии:
$$mgh = E_{\text{кон}} + \Delta E$$ $$0.1\,\text{кг} \cdot 10\,\text{м/с}^2 \cdot h = 6\,\text{Дж} + 1\,\text{Дж}$$
4. Решение уравнения:
$$1\,\text{кг}\cdot\text{м/с}^2 \cdot h = 7\,\text{Дж}$$ $$h = \frac{7\,\text{Дж}}{1\,\text{Н}} = 7\,\text{м}$$

Формула потенциальной энергии пружины:
$$E_p = \frac{kx^2}{2},$$ где:
— $k$ — жесткость пружины,
— $x$ — величина деформации.

2. Нахождение жесткости пружины:
Для начального состояния ($x_1 = 2\,\text{см} = 0.02\,\text{м}$):
$$2\,\text{Дж} = \frac{k \cdot (0.02\,\text{м})^2}{2}$$
$$k = \frac{4\,\text{Дж}}{(0.02\,\text{м})^2} = 10\ 000\,\text{Н/м}$$
3. Расчет изменения энергии:
— Новая деформация: $x_2 = 2\,\text{см} -0.5\,\text{см} = 1.5\,\text{см} = 0.015\,\text{м}$
— Изменение энергии:
$$\Delta E_p = \frac{k}{2}(x_1^2 -x_2^2)$$
$$\Delta E_p = \frac{10\ 000}{2} \left( (0.02)^2 -(0.015)^2 \right)$$
$$\Delta E_p = 5\ 000 \left( 0.0004 -0.000225 \right) = 0.875\,\text{Дж}$$