Алгебра/7 класс/Системы линейных уравнений/Решение систем линейных уравнений/

Решение задач с помощью систем уравнений

Содержание

На этом уроке мы разберем применение систем уравнений для решения задач.

Алгоритм решения задач

Порядок решения задач с помощью систем уравнений:

Обозначаем некоторые неизвестные числа переменными и составляем систему уравнений.
Решаем систему уравнений.
В соответствии с условием задачи даем ответ.

Пример 1

Масса $30$ яблок и $10$ арбузов равна $32$ $кг.$ Найдите среднюю массу одного яблока и одного арбуза, если $10$ яблок легче $3$ арбузов на $2\space кг.$

Примем массу одного яблока за $\textcolor{blue}{x},$ а массу одного арбуза — за $\textcolor{coral}{y}.$ Тогда $30$ яблок и $10$ арбузов будут весить $32 \space кг$:

$$30\textcolor{blue}{x}+10\textcolor{coral}{y}=32$$

Одновременно с этим нам известно, что $10$ яблок легче $3$ арбузов на $2 \space кг$:

$$3\textcolor{coral}{y}-10\textcolor{blue}{x}=2$$

Получилась система уравнений:$$\left\{\begin{aligned}30x+10y&=32\\3y-10x&=2\end{aligned}\right.$$

Показать решение

Скрыть

Решим данную систему методом сложения. Домножим нижнее уравнение на $\textcolor{orange}{3},$ чтобы коэффициенты перед $\textcolor{blue}{x}$ стали противоположными:

$$\left\{\begin{aligned}30x+10y&=32\\3y-10x&=2\space|\cdot \textcolor{orange}{3}\end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\begin{aligned}\textcolor{purple}{30}\textcolor{blue}{x}+10\textcolor{coral}{y}&=32\\9\textcolor{coral}{y}\textcolor{purple}{-30}\textcolor{blue}{x}&=6\end{aligned}\right.$$

Сложим уравнения, чтобы избавиться от одной из переменных:

$$+\begin{aligned}30x+10y&=32\\9y-30x&=6\end{aligned}\Rightarrow \cancel{\textcolor{purple}{30}\textcolor{blue}{x}}+10\textcolor{coral}{y}+9\textcolor{coral}{y}\cancel{\textcolor{purple}{-30}\textcolor{blue}{x}}=32+6$$

Найдем значение переменной $\textcolor{coral}{y},$ решив полученное уравнение:

$$10\textcolor{coral}{y}+9\textcolor{coral}{y}=\textcolor{darkgreen}{32+6}$$ $$19\textcolor{coral}{y}=\textcolor{darkgreen}{38}$$ $$\textcolor{coral}{y}=\frac{38}{19}=\textcolor{coral}{2}$$

Подставив значение переменной $\textcolor{coral}{y}$ в верхнее уравнение, найдем $\textcolor{blue}{x}$:

$$30\textcolor{blue}{x}+10\textcolor{coral}{y}=32$$ $$30\textcolor{blue}{x}+10 \cdot \textcolor{coral}{2}=32$$ $$30\textcolor{blue}{x}=32-20=12$$ $$\textcolor{blue}{x}=\frac{12}{30}=\textcolor{blue}{0.4}$$

Решив данную систему получим, что $x=\textcolor{blue}{0.4} \space кг,$ а $y=\textcolor{coral}{2} \space кг.$

Ответ: масса одного яблока $0.4 \space кг,$ а арбуза — $2 \space кг.$

Пример 2

Взяли несколько двухрублевых и пятирублевых монет. Можно ли данными монетами набрать в сумме $57$ рублей, если известно, что всего монет было $15?$

Пусть количество двухрублевых монет — $\textcolor{blue}{x},$ а количество пятирублевых монет — $\textcolor{coral}{y}.$ Сложив все деньги мы должны получить $57$ рублей:

$$2\textcolor{blue}{x}+5\textcolor{coral}{y}=57$$

Одновременно с этим мы знаем, что всего монет было $15$:

$$\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y}=15$$

Составим систему уравнений: $$\left\{\begin{aligned}2x+5y&=57\\x+y&=15\end{aligned}\right.$$

Показать решение

Скрыть

Решим данную систему методом сложения. Домножим нижнее уравнение на $\textcolor{orange}{-2},$ чтобы коэффициенты перед $\textcolor{blue}{x}$ стали противоположными:

$$\left\{\begin{aligned}2\textcolor{blue}{x}+5\textcolor{coral}{y}&=57\\ \textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y}&=15\space|\cdot (\textcolor{orange}{-2})\end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\begin{aligned}2\textcolor{blue}{x}+5\textcolor{coral}{y}&=57\\-2\textcolor{blue}{x}-2\textcolor{coral}{y}&=-30\end{aligned}\right.$$

Сложим уравнения, чтобы избавиться от одной из переменных:

$$+\begin{aligned}2x+5y&=57\\-2x-2y&=-30\end{aligned}\Rightarrow 2\textcolor{blue}{x}+5\textcolor{coral}{y}-2\textcolor{blue}{x}-2\textcolor{coral}{y}=57-30$$

Найдем значение переменной $\textcolor{coral}{y},$ решив полученное уравнение:

$$\cancel{2\textcolor{blue}{x}}+5\textcolor{coral}{y}\cancel{-2\textcolor{blue}{x}}-2\textcolor{coral}{y}=\textcolor{darkgreen}{57-30}$$ $$3\textcolor{coral}{y}=\textcolor{darkgreen}{27}$$ $$\textcolor{coral}{y}=\frac{27}{3}=\textcolor{coral}{9}$$

Подставив значение переменной $\textcolor{coral}{y}$ в нижнее уравнение, найдем $\textcolor{blue}{x}$:

$$\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y}=15$$ $$\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{9}=15$$ $$\textcolor{blue}{x}=15-9=\textcolor{blue}{6}$$

Ответ: можно, взяв $\textcolor{blue}{6}$ двухрублевых и $\textcolor{coral}{9}$ пятирублевых монет.

{"questions":[{"content":"В квартире две комнаты занимают $19$ $м^2,$ причем площадь одной из комнат на $5\\space м^2$ больше, чем площадь второй. Найдите площадь меньшей комнаты.[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$5\\space м^2$","$7\\space м^2$","$12\\space м^2$"],"placeholder":0,"answer":1}},"step":1,"hints":["Примем площадь одной комнаты за $\\textcolor{blue}{x},$ а другой — за $\\textcolor{coral}{y}.$","Известно, что площадь одной из комнат больше второй на $5\\space м^2$:$$\\textcolor{blue}{x}-\\textcolor{coral}{y}=5$$ Сумма площадей комнат равна $19\\space м^2$:$$\\textcolor{blue}{x}+\\textcolor{coral}{y}=19$$ Получаем систему:$$\\left\\{\\begin{aligned}&x-y=5\\\\&x+y=19\\end{aligned}\\right.$$","Решим данную систему методом сложения:$$+\\begin{aligned}x-y&=5\\\\x+y&=19\\end{aligned}\\Rightarrow \\textcolor{blue}{x}\\cancel{-\\textcolor{coral}{y}}+\\textcolor{blue}{x}+\\cancel{\\textcolor{coral}{y}}=\\textcolor{darkgreen}{5+19}$$ $$2\\textcolor{blue}{x}=\\textcolor{darkgreen}{24}$$ $$\\textcolor{blue}{x}=\\frac{24}{2}=\\textcolor{blue}{12}$$","Подставив значение $\\textcolor{blue}{x}$ в нижнее уравнение, найдем $\\textcolor{coral}{y}$:$$\\textcolor{blue}{x}+\\textcolor{coral}{y}=19$$ $$\\textcolor{blue}{12}+\\textcolor{coral}{y}=19$$ $$\\textcolor{coral}{y}=19-12=\\textcolor{coral}{7}$$","Комнаты имеют площади $\\textcolor{coral}{7} \\space м^2$ и $\\textcolor{blue}{12} \\space м^2$.$\\newline$Ответ: площадь меньшей комнаты — $7 \\space м^2.$"]}]}

Решение задач с помощью систем

Пример 3

Периметр равнобедренного треугольника равен $86 \space см.$ Найдите основание треугольника, если известно, что оно на $14 \space см$ больше боковой его стороны.

Показать решение и ответ

Скрыть

Так как треугольник равнобедренный, его боковые стороны равны. Примем боковую сторону за $\textcolor{blue}{x},$ а основание — за $\textcolor{coral}{y}.$

Периметр треугольника — это сумма длин всех его трех сторон: $\textcolor{blue}{x}+\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y}=86$ или $2\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y}=86.$

В то же время нам известно, что основание больше боковой стороны на $14\space см$: $$\textcolor{coral}{y}-\textcolor{blue}{x}=14$$

Получаем систему: $$\left\{\begin{aligned}2x+y&=86\\y-x&=14\end{aligned}\right.$$

Решим данное уравнение методом подстановки. Выразим в нижнем уравнении $\textcolor{coral}{y}$ и подставим в верхнее уравнение: $$\left\{\begin{aligned}2x+\textcolor{coral}{y}&=86\\\textcolor{coral}{y}&=\textcolor{coral}{14+x}\end{aligned}\right.\Rightarrow \left\{\begin{aligned}2x+\textcolor{coral}{14+x}&=86\\\textcolor{coral}{y}&=\textcolor{coral}{14+x}\end{aligned}\right.$$

$$2\textcolor{blue}{x}+14+\textcolor{blue}{x}=86$$ $$3\textcolor{blue}{x}=86-14=72$$ $$\textcolor{blue}{x}=\frac{72}{3}=\textcolor{blue}{24}$$

Подставим найденное значение $\textcolor{blue}{x}$ в нижнее уравнение:

$$\textcolor{coral}{y}=14+\textcolor{blue}{x}$$ $$\textcolor{coral}{y}=14+\textcolor{blue}{24}=\textcolor{coral}{38}$$

Большая из сторон треугольника — основание, значит, оно равно $\textcolor{coral}{38}\space см,$ боковая сторона — $\textcolor{blue}{24}\space см.$

Ответ: основание равно $38\space см.$

Пример 4

На путь из пункта $A$ в пункт $B$ по течению реки катер тратит $4$ часа. На обратный путь против течения реки катер тратит $5$ часов. Найдите собственную скорость катера, если $70 \space км$ по течению реки он проходит за $3.5$ часа.

Показать решение и ответ

Скрыть

Пусть собственная скорость катера равна $\textcolor{blue}{x},$ а скорость течения реки — $\textcolor{coral}{y}.$ Тогда скорость катера по течению реки будет: $\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y},$ а скорость против течения реки: $\textcolor{blue}{x}-\textcolor{coral}{y}.$ Расстояние равно произведению скорости на время. Сказано, что по течению реки за $4$ часа катер проходит такое же расстояние, как против течения реки за $5$ часов: $$4(\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y})=5(\textcolor{blue}{x}-\textcolor{coral}{y})$$

Дополнительно сказано, что $70\space км$ катер проходит по течению реки за $3.5$ часа: $$3.5(\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y})=70$$

Получаем систему: $$\left\{\begin{aligned}4(x+y)&=5(x-y)\\3.5(x+y)&=70\end{aligned}\right.$$

В верхнем уравнении раскроем скобки, а в нижнем найдем скорость катера по течению реки: $$\left\{\begin{aligned}4(\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y})&=5(\textcolor{blue}{x}-\textcolor{coral}{y})\\3.5(\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y})&=70\end{aligned}\right.\Rightarrow \left\{\begin{aligned}4\textcolor{blue}{x}+4\textcolor{coral}{y}&=5\textcolor{blue}{x}-5\textcolor{coral}{y}\\ \textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y}&=\frac{70}{3.5}=20\end{aligned}\right.$$

В верхнем уравнении перенесем все неизвестные влево и приведем подобные, а в нижнем уравнении выразим переменную $\textcolor{blue}{x}$: $$\left\{\begin{aligned}4\textcolor{blue}{x}-5\textcolor{blue}{x}+4\textcolor{coral}{y}+5\textcolor{coral}{y}&=0\\\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y}&=20\end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\begin{aligned}-\textcolor{blue}{x}+9\textcolor{coral}{y}&=0\\\textcolor{blue}{x}&=20-\textcolor{coral}{y}\end{aligned}\right.$$

Решим полученную систему методом сложения. Сложим уравнения: $$+\begin{aligned}-\textcolor{blue}{x}+9\textcolor{coral}{y}&=0\\\textcolor{blue}{x}&=20-\textcolor{coral}{y}\end{aligned}\Rightarrow \cancel{-\textcolor{blue}{x}}+9\textcolor{coral}{y}+\cancel{\textcolor{blue}{x}}=0+20-\textcolor{coral}{y}$$

$$9\textcolor{coral}{y}=20-\textcolor{coral}{y}$$ $$10\textcolor{coral}{y}=20$$ $$\textcolor{coral}{y}=\frac{20}{10}=\textcolor{coral}{2}$$

Найдем $\textcolor{blue}{x},$ поставив значение $\textcolor{coral}{y}$ в нижнее уравнение:

$$\textcolor{blue}{x}=20-\textcolor{coral}{y}$$ $$\textcolor{blue}{x}=20-\textcolor{coral}{2}=\textcolor{blue}{18}$$

Ответ: $18\space км/ч.$

Пример 5

Смешали некоторое количество $10\%$ раствора и $15\%$ раствора кислоты. Сколько граммов каждого раствора было взято, если в результате получили $12\%$ раствор массой $80 \space г?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Примем массу первого раствора за $\textcolor{blue}{x},$ а второго — за $\textcolor{coral}{y}.$ В результате сложения этих раствором получили раствор массой $80 \space г$: $$\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y}=80$$

Масса кислоты в первом растворе равна $0.1\textcolor{blue}{x},$ а масса кислоты во втором растворе — $0.15\textcolor{coral}{y}.$ Масса кислоты в полученном растворе будет равна $\textcolor{purple}{0.12 \cdot 80}$: $$0.1\textcolor{blue}{x}+0.15\textcolor{coral}{y}=\textcolor{purple}{0.12 \cdot 80}=\textcolor{purple}{9.6}$$

Получаем систему: $$\left\{\begin{aligned}x+y&=80\\0.1x+0.15y&=9.6\end{aligned}\right.$$

Решим данную систему методом сложения, домножив нижнее уравнение на $\textcolor{orange}{-10}$: $$\left\{\begin{aligned}\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y}&=80\\0.1\textcolor{blue}{x}+0.15\textcolor{coral}{y}&=9.6 \space | \cdot (\textcolor{orange}{-10})\end{aligned}\right.\Rightarrow\left\{\begin{aligned}\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y}&=80\\-\textcolor{blue}{x}-1.5\textcolor{coral}{y}&=-96\end{aligned}\right.$$

Сложим уравнения, чтобы избавиться от одной из переменных: $$+\begin{aligned}\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y}&=80\\-\textcolor{blue}{x}-1.5\textcolor{coral}{y}&=-96\end{aligned}\Rightarrow \cancel{\textcolor{blue}{x}}+\textcolor{coral}{y}\cancel{-\textcolor{blue}{x}}-1.5\textcolor{coral}{y}=\textcolor{darkgreen}{80-96}$$

$$-0.5\textcolor{coral}{y}=\textcolor{darkgreen}{-16}$$ $$\textcolor{coral}{y}=\frac{-16}{-0.5}=\textcolor{coral}{32}$$

Подставив значение переменной $\textcolor{coral}{y}$ в верхнее уравнение, найдем $\textcolor{blue}{x}$:

$$\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{y}=80$$ $$\textcolor{blue}{x}+\textcolor{coral}{32}=80$$ $$\textcolor{blue}{x}=80-32=\textcolor{blue}{48}$$

Ответ: $32\space г$ и $48 \space г.$

{"questions":[{"content":"Из двух городов, расстояние между которыми $38 \\space км,$ навстречу друг другу вышли два туриста и встретились через $4$ часа. Найдите скорость первого туриста, если известно, что первый турист до встречи прошел на $2 \\space км$ больше, чем второй.[[fill_choice_big-1]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$5 \\space км/ч$","$4 \\space км/ч$","$6 \\space км/ч$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Пусть скорость первого туриста — $\\textcolor{blue}{x},$ а второго — $\\textcolor{coral}{y}.$","Расстояние равно скорости, умноженной на время. За $4$ часа первый турист прошел $4\\textcolor{blue}{x},$ а второй — $4\\textcolor{coral}{y}.$ Всего они прошли $38 \\space км$: $$4\\textcolor{blue}{x}+4\\textcolor{coral}{y}=38$$","Также нам известно, что первый турист прошел на $2 \\spaceкм$ больше, чем второй: $$4\\textcolor{blue}{x}-4\\textcolor{coral}{y}=2$$ Составим систему: $$\\left\\{\\begin{aligned}&4x+4y=38\\\\&4x-4y=2\\end{aligned}\\right.$$","Решим систему методом сложения: $$+\\begin{aligned}4\\textcolor{blue}{x}+4\\textcolor{coral}{y}&=38\\\\4\\textcolor{blue}{x}-4\\textcolor{coral}{y}&=2\\end{aligned}\\Rightarrow 4\\textcolor{blue}{x}+4\\textcolor{coral}{y}+4\\textcolor{blue}{x}-4\\textcolor{coral}{y}=\\textcolor{darkgreen}{38+2}$$","$$8\\textcolor{blue}{x}=\\textcolor{darkgreen}{40}$$ $$\\textcolor{blue}{x}=\\frac{40}{8}=\\textcolor{blue}{5}$$","Подставив значение $\\textcolor{blue}{x}$ в верхнее уравнение, найдем $\\textcolor{coral}{y}$: $$4\\textcolor{blue}{x}+4\\textcolor{coral}{y}=38$$ $$4 \\cdot \\textcolor{blue}{5} + 4\\textcolor{coral}{y} =38$$ $$\\textcolor{darkgreen}{20}+4\\textcolor{coral}{y}=\\textcolor{darkgreen}{38}$$ $$4\\textcolor{coral}{y}=\\textcolor{darkgreen}{38-20}$$ $$\\textcolor{coral}{y}=\\frac{18}{4}=\\textcolor{coral}{4.5}$$","Ответ: скорость первого туриста — $\\textcolor{blue}{5}\\space км/ч$"]}]}

Часто задаваемые вопросы

Есть ли разница, какое неизвестное принимать за $x,$ а какое — за $y?$

При вводе переменных нет никакой разницы, какое неизвестное принимать за $x,$ а какое — за $y.$ В качестве переменных также можно вводить любые строчные буквы латинского алфавита.

Есть ли разница, каким методом решать систему уравнений при решении задач?

Разницы при решении задач в выборе метода нет, как правило, выбирается тот метод, которым удобнее решить данную систему.

Оценить урок

Что нужно исправить?

Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Проверим знания по теме?

Решение задач с помощью систем уравнений. Практика

Пройти тест

Комментарии

Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Хотите оставить комментарий?

Войти

Решение задач с помощью систем уравнений