ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
Главная
Курсы
9. Уравнения и системы уравнений: квадратные уравнения
Решите уравнение $x^{2}- 25 = 0.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.
$1)$ Перенесем свободный член в правую часть:
$$x^{2} = 25$$
$2)$ Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$$x = \pm \sqrt{25},\quad x = \pm 5$$
$3)$ Больший из корней $5$ и $-5$ равен $5.$
20
Решите уравнение $x^{2}- 121 = 0.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
$1)$ Перенесем свободный член в правую часть:
$$x^{2} = 121$$
$2)$ Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$$x = \pm \sqrt{121},\quad x = \pm 11$$
$3)$ Меньший из корней $11$ и $-11$ равен $-11.$
20
Решите уравнение $10x^{2} = 80x.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
$1)$ Перенесем все слагаемые в левую часть:
$$10x^{2}- 80x = 0$$
$2)$ Вынесем общий множитель $10x$ за скобки:
$$10x(x- 8) = 0$$
$3)$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$$10x = 0 \quad \text{или} \quad x- 8 = 0$$
$4)$ Решим каждое из полученных уравнений:
$$x = 0,\quad x = 8$$
$5)$ Меньший из корней $0$ и $8$ равен $0.$
20
Решите уравнение $x^{2}- 10x + 24 = 0.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
$1)$ Найдем дискриминант квадратного уравнения, где $a = 1,$ $b = -10,$ $c = 24{:}$
$$D = b^{2}- 4ac = (-10)^{2}- 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100- 96 = 4$$
$2)$ Так как $D > 0,$ уравнение имеет два корня. Найдем их:
$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{10 \pm \sqrt{4}}{2} = \dfrac{10 \pm 2}{2}$$
$3)$ Вычислим каждый корень:
$$x_{1} = \dfrac{10- 2}{2} = \dfrac{8}{2} = 4,\quad x_{2} = \dfrac{10 + 2}{2} = \dfrac{12}{2} = 6$$
$4)$ Меньший из корней $4$ и $6$ равен $4.$
20
Решите уравнение $x^{2}- 10x + 21 = 0.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.
$1)$ Найдем дискриминант квадратного уравнения, где $a = 1,$ $b = -10,$ $c = 21{:}$
$$D = b^{2}- 4ac = (-10)^{2}- 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100- 84 = 16$$
$2)$ Так как $D > 0,$ уравнение имеет два корня. Найдем их:
$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{10 \pm \sqrt{16}}{2} = \dfrac{10 \pm 4}{2}$$
$3)$ Вычислим каждый корень:
$$x_{1} = \dfrac{10- 4}{2} = \dfrac{6}{2} = 3,\quad x_{2} = \dfrac{10 + 4}{2} = \dfrac{14}{2} = 7$$
$4)$ Больший из корней $3$ и $7$ равен $7.$
20
Решите уравнение $2x^{2}- 3x + 1 = 0.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
$1)$ Найдем дискриминант квадратного уравнения, где $a = 2,$ $b = -3,$ $c = 1{:}$
$$D = b^{2}- 4ac = (-3)^{2}- 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9- 8 = 1$$
$2)$ Так как $D > 0,$ уравнение имеет два корня. Найдем их:
$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \dfrac{3 \pm 1}{4}$$
$3)$ Вычислим каждый корень:
$$x_{1} = \dfrac{3- 1}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} = 0.5,\quad x_{2} = \dfrac{3 + 1}{4} = \dfrac{4}{4} = 1$$
$4)$ Меньший из корней $0.5$ и $1$ равен $0.5.$
20
Решите уравнение $x^{2}- 49 = 0.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.
$1)$ Перенесем свободный член в правую часть:
$$x^{2} = 49$$
$2)$ Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$$x = \pm \sqrt{49},\quad x = \pm 7$$
$3)$ Больший из корней $7$ и $-7$ равен $7.$
20
Решите уравнение $x^{2}- 144 = 0.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
$1)$ Перенесем свободный член в правую часть:
$$x^{2} = 144$$
$2)$ Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$$x = \pm \sqrt{144},\quad x = \pm 12$$
$3)$ Меньший из корней $12$ и $-12$ равен $-12.$
20
Решите уравнение $9x^{2} = 54x.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
$1)$ Перенесем все слагаемые в левую часть:
$$9x^{2}- 54x = 0$$
$2)$ Вынесем общий множитель $9x$ за скобки:
$$9x(x- 6) = 0$$
$3)$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$$9x = 0 \quad \text{или} \quad x- 6 = 0$$
$4)$ Решим каждое из полученных уравнений:
$$x = 0,\quad x = 6$$
$5)$ Меньший из корней $0$ и $6$ равен $0.$
20
Решите уравнение $x^{2}- 9x + 18 = 0.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
$1)$ Найдем дискриминант квадратного уравнения, где $a = 1,$ $b = -9,$ $c = 18{:}$
$$D = b^{2}- 4ac = (-9)^{2}- 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81- 72 = 9$$
$2)$ Так как $D > 0,$ уравнение имеет два корня. Найдем их:
$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{9 \pm \sqrt{9}}{2} = \dfrac{9 \pm 3}{2}$$
$3)$ Вычислим каждый корень:
$$x_{1} = \dfrac{9- 3}{2} = \dfrac{6}{2} = 3,\quad x_{2} = \dfrac{9 + 3}{2} = \dfrac{12}{2} = 6$$
$4)$ Меньший из корней $3$ и $6$ равен $3.$
20
Решите уравнение $x^{2}- 8x + 12 = 0.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.
$1)$ Найдем дискриминант квадратного уравнения, где $a = 1,$ $b = -8,$ $c = 12{:}$
$$D = b^{2}- 4ac = (-8)^{2}- 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64- 48 = 16$$
$2)$ Так как $D > 0,$ уравнение имеет два корня. Найдем их:
$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{8 \pm \sqrt{16}}{2} = \dfrac{8 \pm 4}{2}$$
$3)$ Вычислим каждый корень:
$$x_{1} = \dfrac{8- 4}{2} = \dfrac{4}{2} = 2,\quad x_{2} = \dfrac{8 + 4}{2} = \dfrac{12}{2} = 6$$
$4)$ Больший из корней $2$ и $6$ равен $6.$
20
Решите уравнение $x^{2}- 4 = 0.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.
$1)$ Перенесем свободный член в правую часть:
$$x^{2} = 4$$
$2)$ Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$$x = \pm \sqrt{4},\quad x = \pm 2$$
$3)$ Больший из корней $2$ и $-2$ равен $2.$
20
Решите уравнение $x^{2}- 9 = 0.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
$1)$ Перенесем свободный член в правую часть:
$$x^{2} = 9$$
$2)$ Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$$x = \pm \sqrt{9},\quad x = \pm 3$$
$3)$ Меньший из корней $3$ и $-3$ равен $-3.$
20
Решите уравнение $7x^{2} = 42x.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
$1)$ Перенесем все слагаемые в левую часть:
$$7x^{2}- 42x = 0$$
$2)$ Вынесем общий множитель $7x$ за скобки:
$$7x(x- 6) = 0$$
$3)$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$$7x = 0 \quad \text{или} \quad x- 6 = 0$$
$4)$ Решим каждое из полученных уравнений:
$$x = 0,\quad x = 6$$
$5)$ Меньший из корней $0$ и $6$ равен $0.$
20
Решите уравнение $x^{2}- 6x + 5 = 0.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
$1)$ Найдем дискриминант квадратного уравнения, где $a = 1,$ $b = -6,$ $c = 5{:}$
$$D = b^{2}- 4ac = (-6)^{2}- 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36- 20 = 16$$
$2)$ Так как $D > 0,$ уравнение имеет два корня. Найдем их:
$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \dfrac{6 \pm 4}{2}$$
$3)$ Вычислим каждый корень:
$$x_{1} = \dfrac{6- 4}{2} = \dfrac{2}{2} = 1,\quad x_{2} = \dfrac{6 + 4}{2} = \dfrac{10}{2} = 5$$
$4)$ Меньший из корней $1$ и $5$ равен $1.$
20
Решите уравнение $x^{2}- 11x + 18 = 0.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.
$1)$ Найдем дискриминант квадратного уравнения, где $a = 1,$ $b = -11,$ $c = 18{:}$
$$D = b^{2}- 4ac = (-11)^{2}- 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121- 72 = 49$$
$2)$ Так как $D > 0,$ уравнение имеет два корня. Найдем их:
$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \dfrac{11 \pm \sqrt{49}}{2} = \dfrac{11 \pm 7}{2}$$
$3)$ Вычислим каждый корень:
$$x_{1} = \dfrac{11- 7}{2} = \dfrac{4}{2} = 2,\quad x_{2} = \dfrac{11 + 7}{2} = \dfrac{18}{2} = 9$$
$4)$ Больший из корней $2$ и $9$ равен $9.$
20