20. Уравнения, неравенства и их системы: уравнения и их системы

Перенесём всё в левую часть:

$x^3+4x^2-9x-36=0$

Сгруппируем:

$x^2(x+4)-9(x+4)=0$

$(x+4)(x^2-9)=0$

$(x+4)(x-3)(x+3)=0$

Отсюда:

$x=-4$, $x=-3$, $x=3$.

Ответ: $-4;-3;3$

Перенесём всё в левую часть:

$x^4-(x-2)^2=0$

Используем разность квадратов:

$(x^2-(x-2))(x^2+(x-2))=0$

$(x^2-x+2)(x^2+x-2)=0$

Первый множитель $x^2-x+2$ не имеет корней, так как $D=1-8=-7$.

Решим второй:

$x^2+x-2=0$

$(x+2)(x-1)=0$

Отсюда $x=-2$ или $x=1$.

Ответ: $-2;1$

Сгруппируем слагаемые:

$x^2(x+5)-1(x+5)=0$

Вынесем общий множитель:

$(x+5)(x^2-1)=0$

Разложим разность квадратов:

$(x+5)(x-1)(x+1)=0$

Отсюда:

$x=-5$, $x=-1$, $x=1$.

Ответ: $-5;-1;1$

Перенесём всё в левую часть:

$x^3+7x^2-4x-28=0$

Сгруппируем:

$x^2(x+7)-4(x+7)=0$

$(x+7)(x^2-4)=0$

$(x+7)(x-2)(x+2)=0$

Отсюда:

$x=-7$, $x=-2$, $x=2$.

Ответ: $-7;-2;2$

Сгруппируем слагаемые:

$x^2(x+2)-1(x+2)=0$

Вынесем общий множитель:

$(x+2)(x^2-1)=0$

Разложим разность квадратов:

$(x+2)(x-1)(x+1)=0$

Отсюда:

$x=-2$, $x=-1$, $x=1$.

Ответ: $-2;-1;1$

Заметим, что $x^2+2x+1=(x+1)^2$.

Тогда:

$x(x+1)^2=6(x+1)$

Перенесём всё в левую часть:

$x(x+1)^2-6(x+1)=0$

Вынесем общий множитель:

$(x+1)(x(x+1)-6)=0$

$(x+1)(x^2+x-6)=0$

$(x+1)(x+3)(x-2)=0$

Отсюда:

$x=-3$, $x=-1$, $x=2$.

Ответ: $-3;-1;2$

Область допустимых значений: $3-x\ge0$, значит $x\le3$.

Сократим одинаковые слагаемые $\sqrt{3-x}$ в обеих частях:

$x^2-2x=8$

$x^2-2x-8=0$

$(x-4)(x+2)=0$

Отсюда $x=4$ или $x=-2$.

Так как по ОДЗ $x\le3$, корень $x=4$ не подходит.

Ответ: $-2$

Сгруппируем слагаемые:

$x^2(x+5)-9(x+5)=0$

Вынесем общий множитель:

$(x+5)(x^2-9)=0$

Разложим разность квадратов:

$(x+5)(x-3)(x+3)=0$

Отсюда:

$x=-5$, $x=-3$, $x=3$.

Ответ: $-5;-3;3$

Сложим уравнения:

$x^2+y+6x^2-y=5+2$

$7x^2=7$

$x^2=1$

$x=\pm1$

Найдём $y$ из первого уравнения:

$x^2+y=5$

$1+y=5$

$y=4$

Получаем две пары решений: $(-1;4)$ и $(1;4)$.

Ответ: $(-1;4);(1;4)$

Сгруппируем слагаемые:

$x^2(x+4)-1(x+4)=0$

Вынесем общий множитель:

$(x+4)(x^2-1)=0$

Разложим разность квадратов:

$(x+4)(x-1)(x+1)=0$

Отсюда:

$x=-4$, $x=-1$, $x=1$.

Ответ: $-4;-1;1$

Второе уравнение разделим на $2$:

$5x^2+y^2=18x$

По первому уравнению $5x^2+y^2=36$, значит:

$36=18x$

$x=2$

Подставим в первое уравнение:

$5\cdot 2^2+y^2=36$

$20+y^2=36$

$y^2=16$

$y=\pm4$

Ответ: $(2;-4);(2;4)$

Пусть $t=(x-4)^2$. Тогда:

$t^2-4t-21=0$

Разложим на множители:

$(t-7)(t+3)=0$

Отсюда $t=7$ или $t=-3$.

Так как $t=(x-4)^2\ge0$, значение $t=-3$ не подходит.

$(x-4)^2=7$

$x-4=\pm\sqrt7$

$x=4-\sqrt7$ или $x=4+\sqrt7$.

Ответ: $4-\sqrt7;4+\sqrt7$

Заметим, что $x^2+6x+9=(x+3)^2$.

Тогда:

$(x-1)(x+3)^2=5(x+3)$

Перенесём всё в левую часть:

$(x-1)(x+3)^2-5(x+3)=0$

Вынесем общий множитель:

$(x+3)((x-1)(x+3)-5)=0$

$(x+3)(x^2+2x-8)=0$

$(x+3)(x+4)(x-2)=0$

Отсюда:

$x=-4$, $x=-3$, $x=2$.

Ответ: $-4;-3;2$

Сложим уравнения:

$2x^2+y+4x^2-y=4+2$

$6x^2=6$

$x^2=1$

$x=\pm1$

Найдём $y$ из первого уравнения:

$2x^2+y=4$

$2\cdot1+y=4$

$y=2$

Ответ: $(-1;2);(1;2)$

Второе уравнение разделим на $4$:

$2x^2+y^2=9x$

По первому уравнению $2x^2+y^2=36$, значит:

$36=9x$

$x=4$

Подставим в первое уравнение:

$2\cdot4^2+y^2=36$

$32+y^2=36$

$y^2=4$

$y=\pm2$

Ответ: $(4;-2);(4;2)$