20. Уравнения, неравенства и их системы: неравенства и их системы

Разложим квадратный трёхчлен: $x^2+x-20=(x+5)(x-4)$.

Тогда $(4-x)(x+5)(x-4)\ge0$. Так как $4-x=-(x-4)$, получаем $-(x-4)^2(x+5)\ge0$.

Так как $(x-4)^2\ge0$, неравенство выполняется при $x\le -5$, а также при $x=4$.

Ответ: $(-\infty;-5]\cup{4}$

Пусть $t=x^2+x$. Тогда получим неравенство $(t-30)(t-12)\le0$.

Произведение неположительно между корнями, значит $12\le t\le30$.

Возвращаемся к $x$:

$12\le x^2+x\le30$

Решаем две части:

$x^2+x-12\ge0$, откуда $x\le-4$ или $x\ge3$.

$x^2+x-30\le0$, откуда $-6\le x\le5$.

Пересечение решений: $[-6;-4]\cup[3;5]$.

Ответ: $[-6;-4]\cup[3;5]$

Разложим на множители:

$(x^2+2x-15)(x^2-4x+3)=(x+5)(x-3)(x-1)(x-3)$

Получаем:

$(x+5)(x-1)(x-3)^2\le0$

Так как $(x-3)^2\ge0$, знак выражения зависит от $(x+5)(x-1)$, а при $x=3$ всё выражение равно нулю.

$(x+5)(x-1)\le0$ при $-5\le x\le1$.

Также подходит $x=3$.

Ответ: $[-5;1]\cup{3}$

Разложим на множители:

$(x^2+3x-18)(x^2-5x+6)=(x+6)(x-3)(x-2)(x-3)$

Получаем:

$(x+6)(x-2)(x-3)^2\le0$

Так как $(x-3)^2\ge0$, знак выражения зависит от $(x+6)(x-2)$, а при $x=3$ всё выражение равно нулю.

$(x+6)(x-2)\le0$ при $-6\le x\le2$.

Также подходит $x=3$.

Ответ: $[-6;2]\cup{3}$

Перенесём всё в левую часть:

$\dfrac{x^2}{x-4}-x\le0$

Приведём к общему знаменателю:

$\dfrac{x^2-x(x-4)}{x-4}\le0$

$\dfrac{x^2-x^2+4x}{x-4}\le0$

$\dfrac{4x}{x-4}\le0$

Так как $4>0$, решаем неравенство $\dfrac{x}{x-4}\le0$.

Критические точки: $x=0$ и $x=4$, причём $x=4$ не входит в область допустимых значений.

Неравенство выполняется при $0\le x<4$.

Ответ: $[0;4)$

Пусть $t=x^2+x$. Тогда получим:

$(t-12)(t-20)\le0$

Произведение неположительно между корнями, значит:

$12\le t\le20$

Возвращаемся к $x$:

$12\le x^2+x\le20$

Решаем две части:

$x^2+x-12\ge0$, откуда $x\le-4$ или $x\ge3$.

$x^2+x-20\le0$, откуда $-5\le x\le4$.

Пересечение решений: $[-5;-4]\cup[3;4]$.

Ответ: $[-5;-4]\cup[3;4]$

Область допустимых значений: $x\ne0$, $x\ne5$.

Перенесём всё в левую часть:

$\frac{1}{x}-\frac{1}{x-5}\ge0$

Приведём к общему знаменателю:

$\frac{x-5-x}{x(x-5)}\ge0$

$\frac{-5}{x(x-5)}\ge0$

Так как числитель отрицательный, дробь будет неотрицательной, когда знаменатель отрицательный:

$x(x-5)<0$

Отсюда $0<x<5$.

Ответ: $(0;5)$

Разложим числитель на множители:

$3x^2-18x+27=3(x^2-6x+9)=3(x-3)^2$

Получаем:

$\dfrac{3(x-3)^2}{x+7}\le0$

Числитель всегда неотрицателен и равен нулю при $x=3$. Знаменатель отрицателен при $x<-7$, а при $x=-7$ выражение не определено.

Значит, неравенство выполняется при $x<-7$ и при $x=3$.

Ответ: $(-\infty;-7)\cup{3}$

Область допустимых значений: $x\ne0$.

Перенесём всё в левую часть:

$x-\frac{64}{x}\le0$

$\frac{x^2-64}{x}\le0$

Разложим числитель:

$\frac{(x-8)(x+8)}{x}\le0$

Критические точки: $x=-8$, $x=0$, $x=8$.

По методу интервалов получаем:

$x\in(-\infty;-8]\cup(0;8]$

Ответ: $(-\infty;-8]\cup(0;8]$

Разложим квадратный трёхчлен:

$x^2+5x-6=(x+6)(x-1)$

Получаем:

$(1-x)(x+6)(x-1)\ge0$

Так как $1-x=-(x-1)$, имеем:

$-(x-1)^2(x+6)\ge0$

Квадрат $(x-1)^2\ge0$, поэтому неравенство выполняется при $x\le-6$, а также при $x=1$.

Ответ: $(-\infty;-6]\cup{1}$

Разложим числитель на множители:

$3x^2-12x+12=3(x^2-4x+4)=3(x-2)^2$

Получаем:

$\dfrac{3(x-2)^2}{x+3}\le0$

Числитель всегда неотрицателен и равен нулю при $x=2$. Знаменатель отрицателен при $x<-3$, а при $x=-3$ выражение не определено.

Значит, неравенство выполняется при $x<-3$ и при $x=2$.

Ответ: $(-\infty;-3)\cup{2}$

Разложим числитель на множители:

$2x^2-12x+18=2(x^2-6x+9)=2(x-3)^2$

Получаем:

$\dfrac{2(x-3)^2}{x+4}\le0$

Числитель всегда неотрицателен и равен нулю при $x=3$. Знаменатель отрицателен при $x<-4$, а при $x=-4$ выражение не определено.

Значит, неравенство выполняется при $x<-4$ и при $x=3$.

Ответ: $(-\infty;-4)\cup{3}$

Пусть $t=x^2+x$. Тогда получим:

$(t-6)(t-12)\le0$

Произведение неположительно между корнями, значит:

$6\le t\le12$

Возвращаемся к $x$:

$6\le x^2+x\le12$

Решаем две части:

$x^2+x-6\ge0$, откуда $x\le-3$ или $x\ge2$.

$x^2+x-12\le0$, откуда $-4\le x\le3$.

Пересечение решений: $[-4;-3]\cup[2;3]$.

Ответ: $[-4;-3]\cup[2;3]$

Область допустимых значений: $x\ne6$.

Перенесём всё в левую часть:

$\dfrac{x^2}{x-6}-x\le0$

Приведём к общему знаменателю:

$\dfrac{x^2-x(x-6)}{x-6}\le0$

$\dfrac{x^2-x^2+6x}{x-6}\le0$

$\dfrac{6x}{x-6}\le0$

Так как $6>0$, решаем неравенство $\dfrac{x}{x-6}\le0$.

Критические точки: $x=0$ и $x=6$, причём $x=6$ не входит в область допустимых значений.

Неравенство выполняется при $0\le x<6$.

Ответ: $[0;6)$

Область допустимых значений: $x\ne0$, $x\ne4$.

Перенесём всё в левую часть:

$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x-4}>0$

Приведём к общему знаменателю:

$\dfrac{x-4-x}{x(x-4)}>0$

$\dfrac{-4}{x(x-4)}>0$

Так как числитель отрицательный, дробь будет положительной, когда знаменатель отрицательный:

$x(x-4)<0$

Отсюда $0<x<4$.

Ответ: $(0;4)$