19. Числа и их свойства: Последовательности и прогрессии
Дана геометрическая прогрессия из трехзначных чисел с первым членом $272$, содержащая не менее $3$ членов.
а) Может ли число $425$ быть членом этой прогрессии?
б) Может ли число $680$ быть членом этой прогрессии?
в) Какое наибольшее трёхзначное число может быть членом такой прогрессии?
а) Да. Пример прогрессии:
$$272,\ 340,\ 425$$
с знаменателем $q=\dfrac{5}{4}$. Все числа трехзначные.
Ответ: да.
б) Нет. Если $680$ — второй член, то $q=\dfrac{5}{2}$, тогда третий член:
$$680\times\frac{5}{2}=1700$$
— четырехзначное число, что противоречит условию.
Ответ: нет.
в) Наибольшее возможное число — $918$. Пример прогрессии:
$$272,\ 408,\ 612,\ 918$$
с знаменателем $q=\dfrac{3}{2}$.
Обоснование:
- Ищем наибольшее трехзначное число вида $17\times k$, где $k$ — произведение степеней $2$ и $3$ (так как $272=17\times2^4$)
- $918=17\times54=17\times2\times3^3$ — подходит
- Следующие меньшие числа ($935$, $952$, $969$) не удовлетворяют условиям разложения на множители
Ответ: $918$.
Итоговые ответы:
а) да;
б) нет;
в) $918$.
20
Дана последовательность из $80$ целых чисел, где первый и последний элементы равны $0,$ а каждый внутренний элемент больше среднего арифметического соседних.
а) Может ли второй элемент быть отрицательным?
б) Может ли второй элемент равняться $20?$
в) Каково минимальное возможное значение второго элемента?
а) Нет. Если $a_2 < 0$, то все последующие разности $a_{n+1}-a_n$ будут отрицательными (так как последовательность разностей убывает). Тогда $a_{80} < 0$, что противоречит условию $a_{80}=0$.
Ответ: нет.
б) Нет. Из условия следует:
$$0 = a_{80} \geq 79(a_2)-79 \times 39$$
Отсюда $a_2 \geq 39$, поэтому $a_2=20$ невозможно.
Ответ: нет.
в) Минимальное значение — $39$. Пример последовательности:
- $a_1=0$, $a_2=39$
- Разности: $39,38,37,…,-39$ (убывающая последовательность)
- Тогда $a_{80}=0+\sum_{k=1}^{79}(40-k)=0$
Ответ: $39$.
Итоговые ответы:
а) нет;
б) нет;
в) $39$.
20
Рассмотрим различные натуральные числа, кратные $3$ и оканчивающиеся на $4.$
а) Может ли их сумма равняться $282?$
б) Может ли их сумма равняться $390?$
в) Каково максимальное количество таких чисел с суммой $2226?$
а) Да. Пример: $24 + 54 + 204 = 282$.
Ответ: да.
б) Нет. Сумма чисел, оканчивающихся на $4,$ может давать $0$ в конце только при количестве чисел, кратном $5.$ Минимальная сумма пяти таких чисел: $24 + 54 + 84 + 114 + 144 = 420 > 390$.
Ответ: нет.
в) Максимальное количество — $9$. Обоснование:
- Количество чисел $n$ должно давать остаток $4$ при делении на $5$ (из уравнения $4n \equiv 1 \mod 5$)
- При $n=14$ минимальная сумма уже $3066 > 2226$
- Пример для $n=9$: $24+54+84+114+144+174+204+234+1194=2226$
Ответ: $9$.
Итоговые ответы:
а) да;
б) нет;
в) $9$.
20
Рассмотрим последовательность из $400$ натуральных чисел, где каждый следующий член либо вдвое больше предыдущего, либо на $98$ меньше.
а) Может ли последовательность содержать ровно $5$ различных чисел?
б) Найдите $a_1 ,$ если $a_{100} = 75 .$
в) Каково минимальное значение наибольшего члена такой последовательности?
а) Да. Пример циклической последовательности:
$$28 \rightarrow 56 \rightarrow 112 \rightarrow 224 \rightarrow 126 \rightarrow 28 \rightarrow \ldots$$
содержит ровно $5$ различных чисел.
Ответ: да.
б) Так как $a_{100} = 75$ — нечетное, то:
$$a_{99} = 75 + 98 = 173$$
$$a_{98} = 173 + 98 = 271$$
$$\ldots$$
$$a_1 = 75 + 98 \times 99 = 9777$$
Ответ: $9777$.
в) Минимальное значение наибольшего члена — $112$. Пример:
$$7 \rightarrow 14 \rightarrow 28 \rightarrow 56 \rightarrow 112 \rightarrow 14 \rightarrow \ldots$$
Любая последовательность с меньшим максимумом либо нарушает условия, либо содержит большие значения.
Ответ: $112$.
Итоговые ответы:
а) да;
б) $9777$;
в) $112$.
20
Вася и Петя решают задачи из сборника. Ежедневно Вася увеличивает количество решаемых задач на $1$, а Петя — на $2$. Оба начали с хотя бы одной задачи и в итоге решили все задачи сборника.
а) Может ли сборник содержать $85$ задач?
б) Может ли сборник содержать $213$ задач, если каждый решал задачи более $3$ дней?
в) Какое максимальное количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решал $16$ дней, а в сборнике меньше $300$ задач?
а) Да. Пример:
- Вася: $42$ задачи в 1-й день, $43$ во 2-й → сумма: $85$
- Петя: $13$ задач в 1-й день, $+2$ ежедневно → за $5$ дней сумма: $85$
Ответ: да.
б) Нет. Для Пети:
$$(b + m — 1)m = 213$$
При $m > 3$ единственные варианты $m=71$ или $m=213$ дают отрицательное $b$.
Ответ: нет.
в) Максимальное количество дней — $14$. Обоснование:
- Для Пети: $m^2 < 300$ ⇒ $m \leq 17$
- Проверка:
- $m=17$: $289$ задач (не подходит)
- $m=14$: $280$ задач (подходит при $a=10$, $b=7$)
Ответ: $14$.
Итоговые ответы:
а) да;
б) нет;
в) $14$.
20