19. Числа и их свойства: Последовательности и прогрессии

а) Да. Пример прогрессии:
$$272,\ 340,\ 425$$
с знаменателем $q=\dfrac{5}{4}$. Все числа трехзначные.

Ответ: да.

б) Нет. Если $680$ — второй член, то $q=\dfrac{5}{2}$, тогда третий член:
$$680\times\frac{5}{2}=1700$$
— четырехзначное число, что противоречит условию.

Ответ: нет.

в) Наибольшее возможное число — $918$. Пример прогрессии:
$$272,\ 408,\ 612,\ 918$$
с знаменателем $q=\dfrac{3}{2}$.

Обоснование:

1. Ищем наибольшее трехзначное число вида $17\times k$, где $k$ — произведение степеней $2$ и $3$ (так как $272=17\times2^4$)
2. $918=17\times54=17\times2\times3^3$ — подходит
3. Следующие меньшие числа ($935$, $952$, $969$) не удовлетворяют условиям разложения на множители

Ответ: $918$.

Итоговые ответы:
а) да;
б) нет;
в) $918$.

а) Нет. Если $a_2 < 0$, то все последующие разности $a_{n+1}-a_n$ будут отрицательными (так как последовательность разностей убывает). Тогда $a_{80} < 0$, что противоречит условию $a_{80}=0$.

Ответ: нет.

б) Нет. Из условия следует:
$$0 = a_{80} \geq 79(a_2)-79 \times 39$$
Отсюда $a_2 \geq 39$, поэтому $a_2=20$ невозможно.

Ответ: нет.

в) Минимальное значение — $39$. Пример последовательности:

• $a_1=0$, $a_2=39$
• Разности: $39,38,37,…,-39$ (убывающая последовательность)
• Тогда $a_{80}=0+\sum_{k=1}^{79}(40-k)=0$

Ответ: $39$.

Итоговые ответы:
а) нет;
б) нет;
в) $39$.

а) Да. Пример: $24 + 54 + 204 = 282$.

Ответ: да.

б) Нет. Сумма чисел, оканчивающихся на $4,$ может давать $0$ в конце только при количестве чисел, кратном $5.$ Минимальная сумма пяти таких чисел: $24 + 54 + 84 + 114 + 144 = 420 > 390$.

Ответ: нет.

в) Максимальное количество — $9$. Обоснование:

1. Количество чисел $n$ должно давать остаток $4$ при делении на $5$ (из уравнения $4n \equiv 1 \mod 5$)
2. При $n=14$ минимальная сумма уже $3066 > 2226$
3. Пример для $n=9$: $24+54+84+114+144+174+204+234+1194=2226$

Ответ: $9$.

Итоговые ответы:
а) да;
б) нет;
в) $9$.

а) Да. Пример циклической последовательности:
$$28 \rightarrow 56 \rightarrow 112 \rightarrow 224 \rightarrow 126 \rightarrow 28 \rightarrow \ldots$$
содержит ровно $5$ различных чисел.

Ответ: да.

б) Так как $a_{100} = 75$ — нечетное, то:
$$a_{99} = 75 + 98 = 173$$
$$a_{98} = 173 + 98 = 271$$
$$\ldots$$
$$a_1 = 75 + 98 \times 99 = 9777$$

Ответ: $9777$.

в) Минимальное значение наибольшего члена — $112$. Пример:
$$7 \rightarrow 14 \rightarrow 28 \rightarrow 56 \rightarrow 112 \rightarrow 14 \rightarrow \ldots$$
Любая последовательность с меньшим максимумом либо нарушает условия, либо содержит большие значения.

Ответ: $112$.

Итоговые ответы:
а) да;
б) $9777$;
в) $112$.

а) Да. Пример:

• Вася: $42$ задачи в 1-й день, $43$ во 2-й → сумма: $85$
• Петя: $13$ задач в 1-й день, $+2$ ежедневно → за $5$ дней сумма: $85$

Ответ: да.

б) Нет. Для Пети:
$$(b + m — 1)m = 213$$
При $m > 3$ единственные варианты $m=71$ или $m=213$ дают отрицательное $b$.

Ответ: нет.

в) Максимальное количество дней — $14$. Обоснование:

1. Для Пети: $m^2 < 300$ ⇒ $m \leq 17$
2. Проверка:

• $m=17$: $289$ задач (не подходит)
• $m=14$: $280$ задач (подходит при $a=10$, $b=7$)

Ответ: $14$.

Итоговые ответы:
а) да;
б) нет;
в) $14$.

$а)$ Да, существует. Рассмотрим последовательность $a_n = {1, 77, 80}.$ Тогда:
Числа, меньшие $79$: $1, 77,$ их среднее: $M_{<79}(a_n) = \frac{1 + 77}{2} = 39.$

После прибавления $4$ получаем последовательность ${5, 81, 84}$:
Числа, меньшие $79$: только $5,$ их среднее: $M_{<79}(a_n+4) = 5.$
Таким образом, $5 < 39,$ условие выполнено.

Ответ: да.

$б)$ Да, существует. Рассмотрим последовательность $a_n = {1, 77, 1001}.$ Тогда:
Числа, меньшие $79$: $1, 77,$ их среднее: $M_{<79}(a_n) = \frac{1 + 77}{2} = 39.$
Числа, не меньшие $79$: $1001,$ их среднее: $M_{>79}(a_n) = 1001.$

После прибавления $4$ получаем последовательность ${5, 81, 1005}$:
Числа, меньшие $79$: только $5,$ их среднее: $M_{<79}(a_n+4) = 5.$
Числа, не меньшие $79$: $81, 1005,$ их среднее: $M_{>79}(a_n+4) = \frac{81 + 1005}{2} = 543.$
Таким образом, $5 < 39$ и $543 < 1001,$ оба условия выполнены.

Ответ: да.

$в)$ Пусть в последовательности ${a_n}$:
$x$ — количество чисел, не превосходящих $74$ $($после прибавления $4$ они остаются меньше $79),$
$y$ — количество чисел от $75$ до $78$ $($после прибавления $4$ они становятся не меньше $79),$
$z$ — количество чисел, не меньших $79.$

Общее количество членов: $n = x + y + z.$

Из условий:
$1.$ Среднее всех чисел равно $84$:
$$ \frac{S}{x+y+z} = 84 \quad \Rightarrow \quad S = 84(x + y + z) $$где $S$ — сумма всех чисел.

$2.$ Среднее чисел, не меньших $7 9,$ равно $94$:
$$ \frac{S_{\geq 79}}{z} = 94 \quad \Rightarrow \quad S_{\geq 79} = 94z$$
$3.$ Среднее чисел, меньших $79,$ равно $70$:
$$ \frac{S_{<79}}{x+y} = 70 \quad \Rightarrow \quad S_{<79} = 70(x + y)$$
При этом $S = S_{<79} + S_{\geq 79} = 70(x+y) + 94z.$

Приравниваем два выражения для $S$:
$$84(x + y + z) = 70(x + y) + 94z$$Упрощаем:
$$84x + 84y + 84z = 70x + 70y + 94z$$ $$14x + 14y = 10z$$ $$7(x + y) = 5z \tag{1}$$

Теперь рассмотрим последовательность после прибавления $4.$
Числа, которые были не больше $74,$ стали не больше $78$ $($остаются меньше $79).$ Их сумма: $S_x + 4x.$
Числа, которые были от $75$ до $78,$ стали от $79$ до $82$ $($переходят в группу $\geq 79 ).$ Их сумма: $S_y + 4y.$
Числа, которые были не меньше $79,$ остаются не меньше $79.$ Их сумма: $S_z + 4z.$

$4.$ Среднее чисел, меньших $79$ в новой последовательности, равно $72$:
$$ \frac{S_x + 4x}{x} = 72 \quad \Rightarrow \quad S_x + 4x = 72x \quad \Rightarrow \quad S_x = 68x $$Среднее чисел, не меньших $79$ в новой последовательности, равно $96$:
В эту группу входят все числа из исходной группы $z$ и числа из группы $y$ $($после прибавления $4 ).$ Их общее количество: $y + z,$ а сумма: $S_y + S_z + 4(y + z).$
$$ \frac{S_y + S_z + 4(y + z)}{y + z} = 96 \quad \Rightarrow \quad S_y + S_z + 4(y + z) = 96(y + z)$$ $$ S_y + S_z = 92(y + z) \tag{2}$$

Также из исходной последовательности:
$$S = S_x + S_y + S_z = 68x + S_y + S_z$$ Но $S = 84(x + y + z),$ поэтому:
$$84(x + y + z) = 68x + S_y + S_z$$Подставляем $(2)$:
$$84x + 84y + 84z = 68x + 92(y + z) $$ $$16x + 84y + 84z = 92y + 92z $$ $$16x = 8y + 8z $$ $$2x = y + z \tag{3}$$

Из $(1)$: $7(x + y) = 5z.$
Из $(3)$: $z = 2x- y.$

Подставляем:
$$7(x + y) = 5(2x- y)$$ $$7x + 7y = 10x- 5y$$ $$12y = 3x$$ $$x = 4y$$Тогда из $(3)$:
$$z = 2 \cdot 4y- y = 8y- y = 7y$$
Общее количество членов:
$$n = x + y + z = 4y + y + 7y = 12y$$Минимальное значение при $y = 1$: $n = 12.$

Проверим существование такой последовательности. Например:
$x = 4$ числа, равные $68$ $($их сумма $272 ),$
$y = 1$ число, равное $78,$
$z = 7$ чисел, равных $94$ $($их сумма $658 ).$

Общая сумма: $272 + 78 + 658 = 1008,$ среднее: $1008 / 12 = 84.$
Числа, меньшие $79$: $4$ числа по $68$ и число $78, $ сумма $272 + 78 = 350,$ среднее $350 / 5 = 70.$
Числа, не меньшие $79$: $7$ чисел по $94,$ среднее $ 94.$
После прибавления $4$:
Числа, меньшие $79$: $4$ числа по $72$ $($сумма $288 ),$ среднее $72.$
Числа, не меньшие $79$: число $82$ и $7$ чисел по $98$ $($сумма $82 + 686 = 768 ),$ среднее $768 / 8 = 96.$

Все условия выполнены.

Ответ: $в)\ 12.$

Итоговые ответы:
$а)\ да; $
$б)\ да; $
$в)\ 12.$

$а)$ Да, могла. 

Рассмотрим пример: 

$10$ слагаемых $«11»$ и $40$ слагаемых $«1».  $

Сумма: $10 \cdot 11 + 40 \cdot 1 = 110 + 40 = 150.$ 

Общее число единиц: $10 \cdot 2 + 40 \cdot 1 = 20 + 40 = 60.$ 

Условие выполнено.

Ответ: да.

$б)$ Нет, не могла. 

Заметим, что каждое слагаемое (число, составленное из единиц) при делении на $3$ дает тот же остаток, что и сумма его цифр $($по признаку делимости на $3).$ Так как все цифры — единицы, то остаток от деления числа на $3$ равен остатку от деления количества его единиц на $3. $

Пусть слагаемые имеют длины $k_1, k_2, \dots, k_m$ (количество единиц в каждом числе). Тогда сумма всех чисел дает остаток от деления на $3,$ равный:

$$k_1 + k_2 + \dots + k_m$$Но это в точности общее число единиц $n,$ так как каждая единица используется ровно в одном слагаемом. 

Таким образом, сумма всех чисел и число $n$ дают одинаковые остатки при делении на $3.  $

В данном случае $n = 80,$ остаток от деления $80$ на $3$ равен $2$ $($так как $78$ делится на $3,$ $80- 78 = 2 ).$ 

Но сумма равна $150,$ а $150$ делится на $3$ без остатка $($остаток $0).  $

Получаем противоречие: остатки должны совпадать, но $2 \ne 0.$ 

Следовательно, такая сумма невозможна.

Ответ: нет.

$в)$ Пусть слагаемые — это числа, составленные из единиц. Каждое такое число имеет вид:

$$\frac{10^k- 1}{9}$$где $k$ — количество единиц. 

Обозначим через $a$ количество слагаемых $«1»$ (из одной единицы), 

через $b$ — количество слагаемых $«11»$ (из двух единиц), 

через $c$ — количество слагаемых $«111»$ (из трех единиц). 

Большие слагаемые (из более чем трех единиц) нецелесообразны, так как они «тратят» много единиц и дают большой вклад в сумму. Однако заметим, что число $«1111»$ $(4$ единицы$)$ дает вклад $1111,$ но при этом «стоит» $4$ единицы. Для получения суммы $150$ выгоднее использовать более мелкие слагаемые. Аналогично, числа из $5$ и более единиц еще менее эффективны. Поэтому ограничимся слагаемыми длиной не более $3.$

Тогда:

Общее число единиц: $n = a + 2b + 3c.$

Сумма чисел: $S = a + 11b + 111c = 150.$

Выразим $a$ из второго уравнения:

$$a = 150- 11b- 111c$$

Подставим в первое:

$$n = (150- 11b- 111c) + 2b + 3c = 150- 9b- 108c$$

Таким образом:

$$n = 150- 9b- 108c$$

Поскольку $a \geq 0,$ то:

$$150- 11b- 111c \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 11b + 111c \leq 150$$

Также $b, c$ — неотрицательные целые.

Рассмотрим возможные значения $c$:

$1.$ $c = 0$: 

   Тогда $n = 150- 9b,$ 

   $11b \leq 150 \Rightarrow b \leq 13$ $($так как $11 \cdot 14 = 154 > 150 ).  $

   Таким образом, $b = 0, 1, 2, \dots, 13.$ 

   Соответствующие $n = 150, 141, 132, \dots, 150- 9 \cdot 13 = 150- 117 = 33.$

$2.$ $c = 1$: 

   Тогда $n = 150- 9b- 108 = 42- 9b,$ 

   $11b + 111 \leq 150 \Rightarrow 11b \leq 39 \Rightarrow b \leq 3$ $($так как $11 \cdot 4 = 44 > 39 ). $

   $b = 0, 1, 2, 3.$ 

   Соответствующие $n = 42, 33, 24, 15.$

$3.$ $c = 2$: 

   Тогда $n = 150- 9b- 216 = -66- 9b,$ 

   но $n$ не может быть отрицательным. Также $11b + 222 \leq 150$ невыполнимо. 

   Таким образом, $c \geq 2$ невозможно.

Итак, возможные значения $n$:

$$n = 150, 141, 132, 123, 114, 105, 96, 87, 78, 69, 60, 51, 42, 33, 24, 15$$

Все эти значения получаются при различных $b$ и $c$ $($например, $n=15$ при $c=1, b=3$: $a = 150- 11 \cdot 3- 111 = 150- 33- 111 = 6,$ $n = 6 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 1 = 6 + 6 + 3 = 15 ).$

Ответ: $в)$ $n$ может равняться $15, 24, 33, 42, 51, 60, 69, 78, 87, 96, 105, 114, 123, 132, 141, 150.$

Итоговые ответы: 

$а)$ да; 

$б)$ нет; 

$в)$ $15, 24, 33, 42, 51, 60, 69, 78, 87, 96, 105, 114, 123, 132, 141, 150.$

Обозначим сумму всех шести чисел за $ S .$ Тогда:

$ M_1 = \frac{S- a_1}{5} = 7 \Rightarrow S- a_1 = 35 \Rightarrow a_1 = S- 35 .$

$ M_2 = \frac{S- a_2}{5} = 6 \Rightarrow S- a_2 = 30 \Rightarrow a_2 = S- 30 .$

Также:

$ M_3 = \frac{S- a_3}{5} .$

Выразим $ S $ через $ a_1 $ и $ a_2 $:$$a_1 = S- 35, \quad a_2 = S- 30$$Вычитая, получим:

$$a_2- a_1 = 5$$ Так как все числа однозначные и неотрицательные, то $ 0 \leq a_1, a_2 \leq 9 .$ Тогда:

$$a_2 = a_1 + 5$$ Из $ a_2 \leq 9 $ следует $ a_1 \leq 4 ,$ а из $ a_1 \geq 0 $ следует $ a_2 \geq 5 .$

Также:$$S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = a_1 + (a_1 + 5) + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 2a_1 + 5 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6$$Но с другой стороны, $ S = a_1 + 35 ,$ поэтому:

$$a_1 + 35 = 2a_1 + 5 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 \Rightarrow a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 30- a_1  \tag{1}$$

Теперь выразим $ M_3 $:

$$M_3 = \frac{S- a_3}{5} = \frac{a_1 + 35- a_3}{5}$$

$а)$ Требуется пример, для которого $ M_3 = 6.4 .$ 

Тогда:$$\frac{a_1 + 35- a_3}{5} = 6,\!4 \Rightarrow a_1 + 35- a_3 = 32 \Rightarrow a_3 = a_1 + 3$$Так как $ a_1 \leq 4 ,$ то $ a_3 \leq 7 .$ Также из $(1)$:

$$a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 30- a_1$$Подставим $ a_3 = a_1 + 3 $:

$$ a_1 + 3 + a_4 + a_5 + a_6 = 30- a_1 \Rightarrow a_4 + a_5 + a_6 = 27- 2a_1$$Выберем $ a_1 = 4 $ (максимально возможное, чтобы числа оставались однозначными). Тогда:

 $ a_2 = a_1 + 5 = 9 ,$

 $ a_3 = a_1 + 3 = 7 ,$

 $ a_4 + a_5 + a_6 = 27- 2 \cdot 4 = 19 .$

Возьмем, например, $ a_4 = 7 ,$ $ a_5 = 6 ,$ $ a_6 = 6 .$ Проверим:

 $ S = 4 + 9 + 7 + 7 + 6 + 6 = 39 ,$

 $ M_1 = \frac{39- 4}{5} = \frac{35}{5} = 7 ,$

 $ M_2 = \frac{39- 9}{5} = \frac{30}{5} = 6 ,$

 $ M_3 = \frac{39- 7}{5} = \frac{32}{5} = 6,\!4 .$

Условия выполнены.

Ответ: $а)$ Например, последовательность $ 4, 9, 7, 7, 6, 6 .$

$б)$ Проверим, может ли $ M_3 = 5 .$ 

Тогда:$$\frac{a_1 + 35- a_3}{5} = 5 \Rightarrow a_1 + 35- a_3 = 25 \Rightarrow a_3 = a_1 + 10$$Но $ a_3 \leq 9 ,$ а $ a_1 \geq 0 ,$ поэтому $ a_1 + 10 \geq 10 ,$ что невозможно. 

Следовательно, такой последовательности не существует.

Ответ: $б)$ Нет.

$в)$ Найдем наименьшее возможное значение $ M_3 .$ 

Имеем:$$M_3 = \frac{a_1 + 35- a_3}{5}$$Чтобы минимизировать $ M_3 ,$ нужно максимизировать $ a_3 $ и минимизировать $ a_1 .$

Из условия $ a_2 = a_1 + 5 \leq 9 $ следует $ a_1 \leq 4 .$ Минимальное $ a_1 = 0 ,$ тогда $ a_2 = 5 .$ 

Максимальное $ a_3 = 9 .$

Подставим:$$M_3 = \frac{0 + 35- 9}{5} = \frac{26}{5} = 5.2$$

Проверим. При $ a_1 = 0 ,$ $ a_2 = 5 ,$ $ a_3 = 9 .$ 

Из $(1)$:$$a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 30- a_1 = 30 \Rightarrow 9 + a_4 + a_5 + a_6 = 30 \Rightarrow a_4 + a_5 + a_6 = 21$$

Так как все числа однозначные, максимум сумма трех чисел равна $27,$ но нам нужно $21.$ Например, $ a_4 = 7 ,$ $ a_5 = 7 ,$ $ a_6 = 7 .$ 

Тогда последовательность: $ 0, 5, 9, 7, 7, 7 .$ 

Проверим:

 $ S = 0 + 5 + 9 + 7 + 7 + 7 = 35 ,$

  $ M_1 = \frac{35- 0}{5} = 7 ,$

 $ M_2 = \frac{35- 5}{5} = 6 ,$

 $ M_3 = \frac{35- 9}{5} = \frac{26}{5} = 5.2 .$

Условия выполнены.

Ответ: $в)$ Наименьшее возможное значение $ M_3 $ равно $ 5.2 .$

Итоговые ответы: 
$а)$ Например, $ 4, 9, 7, 7, 6, 6 $; 
$б)$ нет; 
$в)$ $ 5.2 .$

Обозначим сумму всех $ n $ чисел за $ S .$ Тогда:

— $ M_1 = \frac{S- a_1}{n-1} = 1 \Rightarrow S- a_1 = n-1 \Rightarrow a_1 = S- (n-1) .$

— $ M_2 = \frac{S- a_2}{n-1} = 2 \Rightarrow S- a_2 = 2(n-1) \Rightarrow a_2 = S- 2(n-1) .$

Вычитая, получим:

$$ a_2- a_1 = [S- 2(n-1)]- [S- (n-1)] =- (n-1) $$

Таким образом:

$$ a_1- a_2 = n-1 \tag{1} $$

Так как все числа однозначные и неотрицательные, то $ 0 \leq a_1, a_2 \leq 9 .$ Из $(1)$ следует, что $ n-1 \leq a_1 \leq 9 ,$ поэтому $ n-1 \leq 9 \Rightarrow n \leq 10 .$ Также $ a_2 = a_1- (n-1) \geq 0 .$

Теперь выразим $ M_3 $:

$$ M_3 = \frac{S- a_3}{n-1} $$

Также из выражения для $ M_1 $:

$$ S = a_1 + (n-1)$$

Подставим в выражение для $ M_3 $:

$$ M_3 = \frac{a_1 + (n-1)- a_3}{n-1} = 1 + \frac{a_1- a_3}{n-1} \tag{2} $$

$а)$ Требуется пример, для которого $ M_3 = 1.5 .$ 

Из $(2)$:

$$ 1 + \frac{a_1- a_3}{n-1} = 1.5 \Rightarrow \frac{a_1- a_3}{n-1} = 0.5 \Rightarrow a_1- a_3 = 0.5 (n-1) $$

Поскольку $ a_1 $ и $ a_3 $ целые, $ n-1 $ должно быть четным. Пусть $ n-1 = 2 ,$ то есть $ n = 3 .$ Тогда:

$$ a_1- a_3 = 1$$

Также из $(1)$: $ a_1- a_2 = n-1 = 2 \Rightarrow a_2 = a_1- 2 .$ 

Возьмем $ a_1 = 3 ,$ тогда $ a_2 = 1 ,$ $ a_3 = 2 .$ 

Проверим:

$ S = 3 + 1 + 2 = 6 ,$

$ M_1 = \frac{6- 3}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 $ — не подходит, так как должно быть $1.$

Исправим: из условия $ M_1 = 1 ,$ $ M_2 = 2 $ для $ n=3 $:

$ M_1 = \frac{S- a_1}{2} = 1 \Rightarrow S- a_1 = 2 ,$

$ M_2 = \frac{S- a_2}{2} = 2 \Rightarrow S- a_2 = 4 .$

Вычитая: $ a_2- a_1 = 2 \Rightarrow a_1 = a_2- 2 .$

Тогда $ S = a_1 + 2 = a_2- 2 + 2 = a_2 ,$ но также $ S = a_2 + 4 \Rightarrow a_2 = a_2 + 4 $ — противоречие. Значит, $ n \neq 3 .$

Попробуем $ n-1 = 4 ,$ то есть $ n = 5 .$ Тогда:

$$ a_1- a_3 = 0.5 \cdot 4 = 2 $$

Из $(1)$: $ a_1- a_2 = 4 \Rightarrow a_2 = a_1- 4 .$

Выберем $ a_1 = 6 ,$ тогда $ a_2 = 2 ,$ $ a_3 = 4 .$

Также $ S = a_1 + (n-1) = 6 + 4 = 10 .$

Остальные числа: $ a_4 + a_5 = S- (a_1 + a_2 + a_3) = 10- (6+2+4) = -2 $ — невозможно.

Увеличим $ n .$ Пусть $ n-1 = 6 ,$ $ n = 7 .$ Тогда:

$$ a_1- a_3 = 0.5 \cdot 6 = 3  $$

Из $(1)$: $ a_1- a_2 = 6 \Rightarrow a_2 = a_1- 6 .$

Выберем $ a_1 = 6 ,$ тогда $ a_2 = 0 ,$ $ a_3 = 3 .$

$ S = a_1 + 6 = 6 + 6 = 12 .$

Остальные числа: $ a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 12- (6+0+3) = 3 .$

Возьмем, например, $ a_4 = 1 ,$ $ a_5 = 1 ,$ $ a_6 = 1 ,$ $ a_7 = 0 .$

Проверим:

$ S = 6 + 0 + 3 + 1 + 1 + 1 + 0 = 12 ,$

$ M_1 = \frac{12- 6}{6} = \frac{6}{6} = 1 ,$

$ M_2 = \frac{12- 0}{6} = \frac{12}{6} = 2 ,$

$ M_3 = \frac{12- 3}{6} = \frac{9}{6} = 1.5 .$

Условия выполнены.

Ответ: $а)$ Например, последовательность $ 6, 0, 3, 1, 1, 1, 0 .$

$б)$ Проверим, может ли $ M_3 = 3 .$ 

Из $(2)$:

$$ 1 + \frac{a_1- a_3}{n-1} = 3 \Rightarrow \frac{a_1- a_3}{n-1} = 2 \Rightarrow a_1- a_3 = 2(n-1) $$

Но $ a_1 \leq 9 ,$ $ a_3 \geq 0 ,$ поэтому $ a_1- a_3 \leq 9 .$ Тогда:

$$ 2(n-1) \leq 9 \Rightarrow n-1 \leq 4.5 \Rightarrow n-1 \leq 4 \Rightarrow n \leq 5 $$

С другой стороны, из (1): $ a_1- a_2 = n-1 .$ При $ n \leq 5 ,$ $ n-1 \leq 4 ,$ поэтому $ a_1- a_2 \leq 4 .$

Но $ a_1- a_3 = 2(n-1) \geq 2 \cdot 1 = 2 $ $($при $ n \geq 2  ).$

Попробуем $ n=5 ,$ $ n-1=4 $:

$$ a_1- a_3 = 2 \cdot 4 = 8. $$

Так как $ a_1 \leq 9 ,$ $ a_3 \geq 0 ,$ возможно $ a_1=9 ,$ $ a_3=1 .$

Из $(1)$: $ a_1- a_2 = 4 \Rightarrow a_2 = 5 .$

$ S = a_1 + (n-1) = 9 + 4 = 13 .$

Остальные числа: $ a_4 + a_5 = 13- (9+5+1) = -2 $ — невозможно.

Для меньших $ n $ ситуация ухудшается. Таким образом, не существует.

Ответ: $б)$ Нет.

$в)$ Найдем наибольшее возможное значение $ M_3 .$ 

Из $(2)$:

$$ M_3 = 1 + \frac{a_1- a_3}{n-1} $$

Чтобы максимизировать $ M_3 ,$ нужно максимизировать $ a_1 $ и минимизировать $ a_3 ,$ а также минимизировать $ n-1 .$

Из $(1)$: $ a_1- a_2 = n-1 ,$ при этом $ a_2 \geq 0 ,$ поэтому $ a_1 \geq n-1 .$

Так как $ a_1 \leq 9 ,$ то $ n-1 \leq 9 .$

Максимальное $ M_3 $ будет при наименьшем $ n-1 .$ Пусть $ n-1 = 1 ,$ то есть $ n=2 .$ Тогда:

Из $(1)$: $ a_1- a_2 = 1 .$

$ M_1 = \frac{S- a_1}{1} = a_2 = 1 \Rightarrow a_2 = 1 ,$ тогда $ a_1 = 2 .$

$ M_2 = \frac{S- a_2}{1} = a_1 = 2 $ — подходит.

Тогда $ M_3 $ не определено, так как нет третьего элемента. Таким образом, $ n \geq 3 .$

Пусть $ n-1 = 2 ,$ $ n=3 .$ Тогда:

Из $(1)$: $ a_1- a_2 = 2 .$

$ M_1 = \frac{S- a_1}{2} = 1 \Rightarrow S- a_1 = 2 ,$

$ M_2 = \frac{S- a_2}{2} = 2 \Rightarrow S- a_2 = 4 .$

Вычитая: $ a_2- a_1 = 2 ,$ но из (1) $ a_1- a_2 = 2 ,$ противоречие. Значит, $ n \neq 3 .$

Пусть $ n-1 = 3 ,$ $ n=4 .$ Тогда:

Из $(1)$: $ a_1- a_2 = 3 .$

$ M_1 = \frac{S- a_1}{3} = 1 \Rightarrow S- a_1 = 3 ,$

$ M_2 = \frac{S- a_2}{3} = 2 \Rightarrow S- a_2 = 6 .$

Вычитая: $ a_2- a_1 = 3 ,$ но из (1) $ a_1- a_2 = 3 ,$ снова противоречие.

Пусть $ n-1 = 4 ,$ $ n=5 .$ Тогда:

Из $(1)$: $ a_1- a_2 = 4 .$

$ M_1 = \frac{S- a_1}{4} = 1 \Rightarrow S- a_1 = 4 ,$

$ M_2 = \frac{S- a_2}{4} = 2 \Rightarrow S- a_2 = 8 .$

Вычитая: $ a_2- a_1 = 4 ,$ но из (1) $ a_1- a_2 = 4 ,$ противоречие.

Пусть $ n-1 = 5 ,$ $ n=6 .$ Тогда:

Из $(1)$: $ a_1- a_2 = 5 .$

$ M_1 = \frac{S- a_1}{5} = 1 \Rightarrow S- a_1 = 5 ,$

$ M_2 = \frac{S- a_2}{5} = 2 \Rightarrow S- a_2 = 10 .$

Вычитая: $ a_2- a_1 = 5 ,$ что согласуется с $(1)$ $($так как $ a_1- a_2 = -5  ),$ но у нас $(1)$ дает $ a_1- a_2 = 5 .$ Противоречие.

Таким образом, условие $ (1)$ и условия на $ M_1 ,$ $ M_2 $ совместны только при $ n \geq 7 .$ Из решения п.$а)$ мы имеем пример для $ n=7 .$

Теперь максимизируем $ M_3 .$ Из (2):

$$ M_3 = 1 + \frac{a_1- a_3}{n-1}. $$

При фиксированном $ n ,$ чтобы максимизировать $ M_3 ,$ нужно максимизировать $ a_1 $ и минимизировать $ a_3 .$

Из $(1)$: $ a_1- a_2 = n-1 ,$ при этом $ a_2 \geq 0 ,$ поэтому $ a_1 \geq n-1 .$

Максимальное $ a_1 = 9 ,$ тогда $ n-1 \leq 9 .$

Минимальное $ a_3 = 0 .$

Тогда:

$$ M_3 = 1 + \frac{9- 0}{n-1} = 1 + \frac{9}{n-1}. $$

Чтобы максимизировать это выражение, нужно минимизировать $ n-1 .$ Но, как показано, минимальное $ n-1 = 6 $ $($при $ n=7  ),$ так как для меньших $ n $ условия несовместны.

Тогда:

$$ M_3 = 1 + \frac{9}{6} = 1 + 1.5 = 2.5. $$

Пример: $ n=7 ,$ $ a_1 = 9 ,$ $ a_2 = a_1- (n-1) = 9- 6 = 3 ,$ $ a_3 = 0 .$

$ S = a_1 + (n-1) = 9 + 6 = 15 .$

Остальные числа: $ a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 15- (9+3+0) = 3 .$

Возьмем, например, $ a_4 = 1 ,$ $ a_5 = 1 ,$ $ a_6 = 1 ,$ $ a_7 = 0 .$

Проверим:

 $ S = 9 + 3 + 0 + 1 + 1 + 1 + 0 = 15 ,$

 $ M_1 = \frac{15- 9}{6} = \frac{6}{6} = 1 ,$

 $ M_2 = \frac{15- 3}{6} = \frac{12}{6} = 2 ,$

 $ M_3 = \frac{15- 0}{6} = \frac{15}{6} = 2.5 .$

Условия выполнены.

Ответ: $в) $ Наибольшее возможное значение $ M_3 $ равно $ 2.5 .$

Итоговые ответы: 
$а)$ Например, $ 6, 0, 3, 1, 1, 1, 0 $; 
$б)$ нет; 
$в)$ $ 2.5 .$

Общее среднее арифметическое всех чисел:

$$ \text{Сумма} = 8 \cdot 5 + 8 \cdot 4 + 8 \cdot 3 = 40 + 32 + 24 = 96$$ $$Среднее  = \frac{96}{24} = 4. $$

$а)$ Требуется пример, где среднее всех чисел $(4)$ меньше $ \frac{A + B}{2} .$ 

Пусть в первой группе все $8$ чисел $«5»,$ а во второй группе все $8$ чисел $«4»$ и $8$ чисел $«3».$ 

Тогда:

 $ A = \frac{8 \cdot 5}{8} = 5 ,$

 $ B = \frac{8 \cdot 4 + 8 \cdot 3}{16} = \frac{32 + 24}{16} = \frac{56}{16} = 3.5 ,$

 $ \frac{A + B}{2} = \frac{5 + 3.5}{2} = \frac{8.5}{2} = 4.25 > 4 .$

Условие выполнено.

Ответ: $а)$ Например, первая группа: все $«5»;$ вторая группа: все $ «4»$ и $«3».$

$б)$ Пусть группы содержат по $12 $ чисел. 

Обозначим:

 Сумма чисел в первой группе: $ S_1 ,$

 Сумма чисел во второй группе: $ S_2 .$

Тогда:

$$ A = \frac{S_1}{12}, \quad B = \frac{S_2}{12}, \quad \frac{A + B}{2} = \frac{\frac{S_1}{12} + \frac{S_2}{12}}{2} = \frac{S_1 + S_2}{24}  $$Но $ S_1 + S_2 = 96 $ (общая сумма), поэтому:

$$ \frac{A + B}{2} = \frac{96}{24} = 4  $$что равно среднему арифметическому всех чисел.

Ответ: $б)$ Доказано.

 $в)$ Найдем наибольшее возможное значение $ \frac{A + B}{2} .$ 

Заметим, что $ \frac{A + B}{2} $ зависит от разбиения. Обозначим:

 В первой группе: $ x $ чисел $«5»,$ $ y $ чисел $«4»,$ $ z $ чисел $«3»,$ всего $ n_1 = x + y + z $ чисел,

 Во второй группе: $ 8- x $ чисел «5», $ 8- y $ чисел $«4»,$ $ 8- z $ чисел $«3»,$ всего $ n_2 = 24- n_1 $ чисел.

Тогда:

$$ A = \frac{5x + 4y + 3z}{n_1}, \quad B = \frac{5(8-x) + 4(8-y) + 3(8-z)}{n_2} = \frac{40- 5x + 32- 4y + 24- 3z}{n_2} = \frac{96- (5x + 4y + 3z)}{n_2}  $$

Выразим $ \frac{A + B}{2} $:

$$ \frac{A + B}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{5x + 4y + 3z}{n_1} + \frac{96- (5x + 4y + 3z)}{n_2} \right)  $$

Обозначим $ S = 5x + 4y + 3z $ — сумма чисел в первой группе. Тогда:

$$ \frac{A + B}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{S}{n_1} + \frac{96- S}{n_2} \right)  $$

Поскольку общее среднее равно $4, $ то для максимизации $ \frac{A + B}{2} $ нужно, чтобы одна группа имела среднее больше $4,$ а другая — меньше $4, $ причем разность должна быть как можно больше.

Наибольшее возможное среднее в группе — $5$ $ ($если группа состоит только из $«5»),$ наименьшее — $3$ $($если только из $«3»).$ Однако из-за ограничений на количество чисел эти крайние значения недостижимы для обеих групп одновременно.

Рассмотрим случай, когда в одной группе только одно число $«5»,$ а все остальные числа — во второй группе. 

Пусть $ n_1 = 1 ,$ $ S = 5 .$ Тогда:

$$ A = 5, \quad n_2 = 23, \quad S_2 = 96- 5 = 91, \quad B = \frac{91}{23} = 3.\frac{22}{23} = 3.9565… $$

Тогда:

$$ \frac{A + B}{2} = \frac{5 + \frac{91}{23}}{2} = \frac{5 + 3.\frac{22}{23}}{2} = \frac{8.\frac{22}{23}}{2} = 4.\frac{11}{23} \approx 4.4783  $$

Проверим, можно ли получить большее значение. 

Если взять $ n_1 = 2 $ и оба числа $«5», $ то $ S = 10 ,$ $ A = 5 ,$ $ n_2 = 22 ,$ $ S_2 = 86 ,$ $ B = \frac{86}{22} = 3.\frac{10}{11} \approx 3.9091 ,$ 

$ \frac{A + B}{2} = \frac{5 + 3.\frac{10}{11}}{2} = 4.\frac{5}{11} \approx 4.4545 < 4.4783 .$

Если взять $ n_1 = 1 $ число $«5»$ и одно число $«4»$ (чтобы увеличить $ A $), но тогда $ n_1 = 2 ,$ $ S = 9 ,$ $ A = 4.5 ,$ $ n_2 = 22 ,$ $ S_2 = 87 ,$ $ B = \frac{87}{22} \approx 3.9545 ,$ 

$ \frac{A + B}{2} \approx \frac{4.5 + 3.9545}{2} = 4.22725 < 4.4783 .$

Таким образом, максимальное значение достигается при $ n_1 = 1 $ $($одно число $«5»),$ $ n_2 = 23 .$

Ответ: $в)$ Наибольшее возможное значение $ \frac{A + B}{2} $ равно $ 4.\frac{11}{23} .$

Итоговые ответы: 
$а)$ Например, первая группа: все $«5»;$ вторая группа: все $«4»$ и $«3»;  $
$б)$ доказано; 
$в)$ $ 4 \frac{11}{23} .$

Пусть прогрессия задается первым членом $ a $ (натуральное число) и разностью $ d $ (натуральное число или ноль). Количество членов прогрессии обозначим $ n .$ Члены прогрессии: $ a, a+d, a+2d, \dots, a+(n-1)d .$

$а)$ Для прогрессии из пяти членов $(  n = 5  )$: 

Наименьший член: $ a ,$ наибольший: $ a + 4d .$ 

Их сумма: 

$$ a + (a + 4d) = 2a + 4d = 2(a + 2d)  $$ 

Это число четное. Но $99$ — нечетное. Следовательно, такая сумма не может равняться $99.  $

Ответ: $а)$ Нет.

$б)$ Для прогрессии из шести членов $(  n = 6  )$: 

Наименьший член: $ a ,$ наибольший: $ a + 5d .$ 

Их сумма: 

$$ a + (a + 5d) = 2a + 5d = 9  \tag{1} $$ 

Так как $ a $ и $ d $ — натуральные числа $($или $ d = 0  ),$ рассмотрим возможные значения $ d $: 

 Если $ d = 0 ,$ то $ 2a = 9 ,$ $ a = 4.5 $ — не натуральное. 

 Если $ d = 1 ,$ то $ 2a + 5 = 9 \Rightarrow 2a = 4 \Rightarrow a = 2 .$ 

 Если $ d \geq 2 ,$ то $ 2a + 5d \geq 2a + 10 \geq 12 > 9 $ $($так как $ a \geq 1  )$ — невозможно. 

Таким образом, единственный вариант: $ d = 1 ,$ $ a = 2 .$ 

Члены прогрессии: 

$$ 2, 3, 4, 5, 6, 7  $$ 

Проверка: сумма наименьшего и наибольшего: $ 2 + 7 = 9 .$ 

Ответ: $б)$ $ 2, 3, 4, 5, 6, 7 .$

$в)$ Среднее арифметическое членов прогрессии равно полусумме крайних членов: 

$$ \text{Среднее} = \frac{a + (a + (n-1)d)}{2} = \frac{2a + (n-1)d}{2} = 6.5  $$ 

Отсюда: 

$$ 2a + (n-1)d = 13  \tag{2} $$ 

Так как все члены прогрессии — натуральные числа, то $ a \geq 1 ,$ $ d \geq 1 $ $($если $ d = 0 ,$ то все члены равны $ a ,$ и среднее равно $ a ,$ но $ a $ натуральное, поэтому $ a \neq 6.5 $; значит, $ d \geq 1  ). $

Из $(2)$: 

$$ (n-1)d = 13- 2a  $$ 

Так как $ a \geq 1 ,$ то $ 13- 2a \leq 11 ,$ поэтому: 

$$ (n-1)d \leq 11  $$ 

Так как $ d \geq 1 ,$ то: 

$$ n- 1 \leq 11 \Rightarrow n \leq 12  $$ 

Таким образом, прогрессия может содержать не более $12$ членов. 

Приведем пример прогрессии из $12$ натуральных чисел со средним $6.5$: 

Рассмотрим арифметическую прогрессию натуральных чисел от $1$ до $12$: 

$$ 1, 2, 3, \dots, 12 $$ 

Здесь $ a = 1 ,$ $ d = 1 ,$ $ n = 12 .$ 

Сумма крайних: $ 1 + 12 = 13 ,$ среднее: $ \frac{13}{2} = 6.5 .$ 

Ответ: $в)\ 12.$

Итоговые ответы: 
$а)$ нет; 
$б)  \ 2, 3, 4, 5, 6, 7  ;  $
$в)\ 12.$

Пусть прогрессия задается первым членом $ a_1 $ (натуральное число) и разностью $ d $ (натуральное число, так как числа различные). Тогда члены прогрессии: 

$$ a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, \dots, a_1 + (n-1)d  $$ 

Сумма всех членов: 

$$ S = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n  \tag{1} $$

$а)$ Предположим, что $ S = 13 .$ Тогда из $(1)$: 

$$ \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n = 13 \quad \Rightarrow \quad (2a_1 + (n-1)d) \cdot n = 26  $$ 

Так как $ n \geq 3 ,$ то $ n $ является делителем $26.$ Делители $26$: $1, 2, 13, 26.$ Подходит только $ n = 13 $ или $ n = 26 .$ 

Но сумма $13$ различных натуральных чисел не меньше суммы $ 1 + 2 + \dots + 13 = 91 ,$ что больше $13. $ Аналогично для $ n = 26 .$ 

Следовательно, сумма не может быть равна $13.  $

Ответ: $а)$ Нет.

$б) $ Так как числа — различные натуральные, то наименьшая возможная сумма для $ n $ чисел достигается, когда это числа $ 1, 2, 3, \dots, n $: 

$$ S_{\text{min}} = \frac{n(n+1)}{2}  $$ 

По условию $ S < 500 ,$ поэтому: 

$$ \frac{n(n+1)}{2} < 500 \quad \Rightarrow \quad n(n+1) < 1000 $$ 

Подберем наибольшее $ n $: 

$ n = 31 $: $ 31 \cdot 32 = 992 < 1000 ,$ 

$ n = 32 $: $ 32 \cdot 33 = 1056 > 1000 .$ 

Таким образом, $ n \leq 31 .$ 

Пример: прогрессия $ 1, 2, 3, \dots, 31 $ имеет сумму $ \frac{31 \cdot 32}{2} = 496 < 500 .$ 

Ответ: $б)\ 31.$

$в)$ Пусть $ S = 57 .$ Тогда из $(1)$: 

$$ \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n = 57 \quad \Rightarrow \quad (2a_1 + (n-1)d) \cdot n = 114 \tag{2} $$ 

Так как $ n \geq 3 ,$ то $ n $ является делителем $114.$ Делители $114$: 

$$ 1, 2, 3, 6, 19, 38, 57, 114  $$ 

Подходят $ n = 3, 6, 19, 38, 57, 114 .$ 

Но также сумма $ n $ различных натуральных чисел не меньше $ \frac{n(n+1)}{2} .$ Поэтому: 

$$ \frac{n(n+1)}{2} \leq 57 \quad \Rightarrow \quad n(n+1) \leq 114  $$ 

Проверим возможные $ n $: 

 $ n = 3 $: $ 3 \cdot 4 = 12 \leq 114 $ — подходит. 

 $ n = 6 $: $ 6 \cdot 7 = 42 \leq 114 $ — подходит. 

 $ n = 19 $: $ 19 \cdot 20 = 380 > 114 $ — не подходит. 

 $ n = 38 $: $ 38 \cdot 39 = 1482 > 114 $ — не подходит. 

  $ n = 57 $: $ 57 \cdot 58 = 3306 > 114 $ — не подходит. 

  $ n = 114 $: $ 114 \cdot 115 = 13110 > 114 $ — не подходит. 

Таким образом, возможны только $ n = 3 $ и $ n = 6 .$ 

Проверим, можно ли подобрать прогрессию для этих $ n $: 

$1. $ $ n = 3 $: 

Из $(2)$: 

$$ (2a_1 + 2d) \cdot 3 = 114 \quad \Rightarrow \quad 2a_1 + 2d = 38 \quad \Rightarrow \quad a_1 + d = 19  $$ 

Так как числа натуральные и различные, $ d \geq 1 .$ Например, $ a_1 = 1 ,$ $ d = 18 $: прогрессия $ 1, 19, 37 ,$ сумма $ 1 + 19 + 37 = 57 .$ 

$2.$ $ n = 6 $: 

Из $(2)$: 

$$ (2a_1 + 5d) \cdot 6 = 114 \quad \Rightarrow \quad 2a_1 + 5d = 19  $$ 

Так как $ a_1 \geq 1 ,$ $ d \geq 1 ,$ возможны варианты: 

  $ d = 1 $: $ 2a_1 + 5 = 19 \Rightarrow a_1 = 7 ,$ прогрессия $ 7, 8, 9, 10, 11, 12 ,$ сумма $ 57 .$ 

  $ d = 2 $: $ 2a_1 + 10 = 19 \Rightarrow a_1 = 4.5 $ — не натуральное. 

 $ d = 3 $: $ 2a_1 + 15 = 19 \Rightarrow a_1 = 2 ,$ прогрессия $ 2, 5, 8, 11, 14, 17 ,$ сумма $ 57 .$ 

 $ d \geq 4 $: $ 2a_1 \leq 19- 20 = -1 $ — невозможно. 

Таким образом, для $ n = 6 $ тоже существуют прогрессии. 

Ответ: $в)\ 3$ и $6.$

Итоговые ответы: 
$а) $ нет; 
$б)$ $31; $
$в)$ $3, 6.$

Пусть прогрессия задается первым членом $ a $ (целое число) и разностью $ d $ (целое число, $ d \neq 0 ,$ так как прогрессия непостоянная). Рассмотрим сумму $ k $ последовательных членов $(  k \geq 3  )$:

$$ S = a + (a+d) + (a+2d) + \dots + (a+(k-1)d) = \frac{k}{2} \cdot (2a + (k-1)d)  \tag{1} $$

$а)$ Да, может. 

Например, возьмем $ k = 4 ,$ $ a = -1 ,$ $ d = 2 $: 

$$ S = (-1) + 1 + 3 + 5 = 8  $$ Формула $(1)$: 

$$ S = \frac{4}{2} \cdot (2 \cdot (-1) + 3 \cdot 2) = 2 \cdot (-2 + 6) = 2 \cdot 4 = 8  $$ Условие выполнено.

Ответ: $а)$ Да.

$б)$ Предположим, что $ S = 1 .$ Тогда из $(1)$:

$$ \frac{k}{2} \cdot (2a + (k-1)d) = 1 \quad \Rightarrow \quad k(2a + (k-1)d) = 2  \tag{2} $$

Так как $ k \geq 3 ,$ то $ k \geq 3 ,$ а $ 2a + (k-1)d $ — целое число. Поэтому левая часть $(2)$ по модулю не меньше $3,$ в то время как правая равна $2.$ Противоречие. 

Следовательно, $ S $ не может равняться $1.$

Ответ: $б)$ Нет.

$в)$ Исследуем, какие целые значения может принимать $ S .$

$1.$ Покажем, что $ S $ может быть любым целым числом, кроме $ \pm1 .$

 Для $ S = 0 $: 

     Пример: прогрессия $ -1, 0, 1 $ $(  a = -1, d = 1, k = 3  )$: $$ S = (-1) + 0 + 1 = 0 $$Для $ S = n \geq 2 $: 

     Рассмотрим прогрессию из $ 2n $ членов: $$ a = 1- n, \quad d = 1, \quad k = 2n  $$Тогда члены: $ 1-n, 2-n, \dots, -1, 0, 1, 2, \dots, n .$ 

     Сумма: $$ S = \frac{2n}{2} \cdot (2(1-n) + (2n-1)\cdot 1) = n \cdot (2- 2n + 2n- 1) = n \cdot 1 = n  $$Например, для $ n = 2 $: прогрессия $ -1, 0, 1, 2 ,$ сумма $ 2 .$

  Для $ S = -n \leq -2 $: 

     Возьмем прогрессию, противоположную предыдущей: $$ a = n- 1, \quad d = -1, \quad k = 2n $$Тогда члены: $ n-1, n-2, \dots, 0, -1, -2, \dots, 1-n .$ 

     Сумма:$$ S = \frac{2n}{2} \cdot (2(n-1) + (2n-1)(-1)) = n \cdot (2n- 2- 2n + 1) = n \cdot (-1) = -n  $$Например, для $ n = 2 $: прогрессия $ 1, 0, -1, -2 ,$ сумма $ -2 .$

 Для $ S = \pm1 $: 

     Как показано в пункте $(б),$ $ S = 1 $ невозможно. Аналогично, если $ S = -1 ,$ то из $(1)$:$$ k(2a + (k-1)d) = -2  $$При $ k \geq 3 $ левая часть по модулю не меньше $3,$ поэтому равенство невозможно.

$2.$ Таким образом, $ S $ может быть любым целым числом, кроме $ 1 $ и $ -1 .$

Ответ: $в)$ Все целые числа, кроме $ 1 $ и $ -1 .$

Итоговые ответы: 
$а)$ да; 
$б)$ нет; 
$в)$ все целые числа, кроме $ 1 $ и $ -1 .$