19. Числа и их свойства: #210816

Пусть прогрессия задается первым членом $ a $ (целое число) и разностью $ d $ (целое число, $ d \neq 0 ,$ так как прогрессия непостоянная). Рассмотрим сумму $ k $ последовательных членов $(  k \geq 3  )$:

$$ S = a + (a+d) + (a+2d) + \dots + (a+(k-1)d) = \frac{k}{2} \cdot (2a + (k-1)d)  \tag{1} $$

$а)$ Да, может. 

Например, возьмем $ k = 4 ,$ $ a = -1 ,$ $ d = 2 $: 

$$ S = (-1) + 1 + 3 + 5 = 8  $$ Формула $(1)$: 

$$ S = \frac{4}{2} \cdot (2 \cdot (-1) + 3 \cdot 2) = 2 \cdot (-2 + 6) = 2 \cdot 4 = 8  $$ Условие выполнено.

Ответ: $а)$ Да.

$б)$ Предположим, что $ S = 1 .$ Тогда из $(1)$:

$$ \frac{k}{2} \cdot (2a + (k-1)d) = 1 \quad \Rightarrow \quad k(2a + (k-1)d) = 2  \tag{2} $$

Так как $ k \geq 3 ,$ то $ k \geq 3 ,$ а $ 2a + (k-1)d $ — целое число. Поэтому левая часть $(2)$ по модулю не меньше $3,$ в то время как правая равна $2.$ Противоречие. 

Следовательно, $ S $ не может равняться $1.$

Ответ: $б)$ Нет.

$в)$ Исследуем, какие целые значения может принимать $ S .$

$1.$ Покажем, что $ S $ может быть любым целым числом, кроме $ \pm1 .$

 Для $ S = 0 $: 

     Пример: прогрессия $ -1, 0, 1 $ $(  a = -1, d = 1, k = 3  )$: $$ S = (-1) + 0 + 1 = 0 $$Для $ S = n \geq 2 $: 

     Рассмотрим прогрессию из $ 2n $ членов: $$ a = 1- n, \quad d = 1, \quad k = 2n  $$Тогда члены: $ 1-n, 2-n, \dots, -1, 0, 1, 2, \dots, n .$ 

     Сумма: $$ S = \frac{2n}{2} \cdot (2(1-n) + (2n-1)\cdot 1) = n \cdot (2- 2n + 2n- 1) = n \cdot 1 = n  $$Например, для $ n = 2 $: прогрессия $ -1, 0, 1, 2 ,$ сумма $ 2 .$

  Для $ S = -n \leq -2 $: 

     Возьмем прогрессию, противоположную предыдущей: $$ a = n- 1, \quad d = -1, \quad k = 2n $$Тогда члены: $ n-1, n-2, \dots, 0, -1, -2, \dots, 1-n .$ 

     Сумма:$$ S = \frac{2n}{2} \cdot (2(n-1) + (2n-1)(-1)) = n \cdot (2n- 2- 2n + 1) = n \cdot (-1) = -n  $$Например, для $ n = 2 $: прогрессия $ 1, 0, -1, -2 ,$ сумма $ -2 .$

 Для $ S = \pm1 $: 

     Как показано в пункте $(б),$ $ S = 1 $ невозможно. Аналогично, если $ S = -1 ,$ то из $(1)$:$$ k(2a + (k-1)d) = -2  $$При $ k \geq 3 $ левая часть по модулю не меньше $3,$ поэтому равенство невозможно.

$2.$ Таким образом, $ S $ может быть любым целым числом, кроме $ 1 $ и $ -1 .$

Ответ: $в)$ Все целые числа, кроме $ 1 $ и $ -1 .$

Итоговые ответы: 
$а)$ да; 
$б)$ нет; 
$в)$ все целые числа, кроме $ 1 $ и $ -1 .$