20. Числа и их свойства: #210806

$а)$ Да, существует. Рассмотрим последовательность $a_n = {1, 77, 80}.$ Тогда:
Числа, меньшие $79$: $1, 77,$ их среднее: $M_{<79}(a_n) = \frac{1 + 77}{2} = 39.$

После прибавления $4$ получаем последовательность ${5, 81, 84}$:
Числа, меньшие $79$: только $5,$ их среднее: $M_{<79}(a_n+4) = 5.$
Таким образом, $5 < 39,$ условие выполнено.

Ответ: да.

$б)$ Да, существует. Рассмотрим последовательность $a_n = {1, 77, 1001}.$ Тогда:
Числа, меньшие $79$: $1, 77,$ их среднее: $M_{<79}(a_n) = \frac{1 + 77}{2} = 39.$
Числа, не меньшие $79$: $1001,$ их среднее: $M_{>79}(a_n) = 1001.$

После прибавления $4$ получаем последовательность ${5, 81, 1005}$:
Числа, меньшие $79$: только $5,$ их среднее: $M_{<79}(a_n+4) = 5.$
Числа, не меньшие $79$: $81, 1005,$ их среднее: $M_{>79}(a_n+4) = \frac{81 + 1005}{2} = 543.$
Таким образом, $5 < 39$ и $543 < 1001,$ оба условия выполнены.

Ответ: да.

$в)$ Пусть в последовательности ${a_n}$:
$x$ — количество чисел, не превосходящих $74$ $($после прибавления $4$ они остаются меньше $79),$
$y$ — количество чисел от $75$ до $78$ $($после прибавления $4$ они становятся не меньше $79),$
$z$ — количество чисел, не меньших $79.$

Общее количество членов: $n = x + y + z.$

Из условий:
$1.$ Среднее всех чисел равно $84$:
$$ \frac{S}{x+y+z} = 84 \quad \Rightarrow \quad S = 84(x + y + z) $$где $S$ — сумма всех чисел.

$2.$ Среднее чисел, не меньших $7 9,$ равно $94$:
$$ \frac{S_{\geq 79}}{z} = 94 \quad \Rightarrow \quad S_{\geq 79} = 94z$$
$3.$ Среднее чисел, меньших $79,$ равно $70$:
$$ \frac{S_{<79}}{x+y} = 70 \quad \Rightarrow \quad S_{<79} = 70(x + y)$$
При этом $S = S_{<79} + S_{\geq 79} = 70(x+y) + 94z.$

Приравниваем два выражения для $S$:
$$84(x + y + z) = 70(x + y) + 94z$$Упрощаем:
$$84x + 84y + 84z = 70x + 70y + 94z$$ $$14x + 14y = 10z$$ $$7(x + y) = 5z \tag{1}$$

Теперь рассмотрим последовательность после прибавления $4.$
Числа, которые были не больше $74,$ стали не больше $78$ $($остаются меньше $79).$ Их сумма: $S_x + 4x.$
Числа, которые были от $75$ до $78,$ стали от $79$ до $82$ $($переходят в группу $\geq 79 ).$ Их сумма: $S_y + 4y.$
Числа, которые были не меньше $79,$ остаются не меньше $79.$ Их сумма: $S_z + 4z.$

$4.$ Среднее чисел, меньших $79$ в новой последовательности, равно $72$:
$$ \frac{S_x + 4x}{x} = 72 \quad \Rightarrow \quad S_x + 4x = 72x \quad \Rightarrow \quad S_x = 68x $$Среднее чисел, не меньших $79$ в новой последовательности, равно $96$:
В эту группу входят все числа из исходной группы $z$ и числа из группы $y$ $($после прибавления $4 ).$ Их общее количество: $y + z,$ а сумма: $S_y + S_z + 4(y + z).$
$$ \frac{S_y + S_z + 4(y + z)}{y + z} = 96 \quad \Rightarrow \quad S_y + S_z + 4(y + z) = 96(y + z)$$ $$ S_y + S_z = 92(y + z) \tag{2}$$

Также из исходной последовательности:
$$S = S_x + S_y + S_z = 68x + S_y + S_z$$ Но $S = 84(x + y + z),$ поэтому:
$$84(x + y + z) = 68x + S_y + S_z$$Подставляем $(2)$:
$$84x + 84y + 84z = 68x + 92(y + z) $$ $$16x + 84y + 84z = 92y + 92z $$ $$16x = 8y + 8z $$ $$2x = y + z \tag{3}$$

Из $(1)$: $7(x + y) = 5z.$
Из $(3)$: $z = 2x- y.$

Подставляем:
$$7(x + y) = 5(2x- y)$$ $$7x + 7y = 10x- 5y$$ $$12y = 3x$$ $$x = 4y$$Тогда из $(3)$:
$$z = 2 \cdot 4y- y = 8y- y = 7y$$
Общее количество членов:
$$n = x + y + z = 4y + y + 7y = 12y$$Минимальное значение при $y = 1$: $n = 12.$

Проверим существование такой последовательности. Например:
$x = 4$ числа, равные $68$ $($их сумма $272 ),$
$y = 1$ число, равное $78,$
$z = 7$ чисел, равных $94$ $($их сумма $658 ).$

Общая сумма: $272 + 78 + 658 = 1008,$ среднее: $1008 / 12 = 84.$
Числа, меньшие $79$: $4$ числа по $68$ и число $78, $ сумма $272 + 78 = 350,$ среднее $350 / 5 = 70.$
Числа, не меньшие $79$: $7$ чисел по $94,$ среднее $ 94.$
После прибавления $4$:
Числа, меньшие $79$: $4$ числа по $72$ $($сумма $288 ),$ среднее $72.$
Числа, не меньшие $79$: число $82$ и $7$ чисел по $98$ $($сумма $82 + 686 = 768 ),$ среднее $768 / 8 = 96.$

Все условия выполнены.

Ответ: $в)\ 12.$

Итоговые ответы:
$а)\ да; $
$б)\ да; $
$в)\ 12.$