20. Числа и их свойства: #210808

$а)$ Да, могла. 

Рассмотрим пример: 

$10$ слагаемых $«11»$ и $40$ слагаемых $«1».  $

Сумма: $10 \cdot 11 + 40 \cdot 1 = 110 + 40 = 150.$ 

Общее число единиц: $10 \cdot 2 + 40 \cdot 1 = 20 + 40 = 60.$ 

Условие выполнено.

Ответ: да.

$б)$ Нет, не могла. 

Заметим, что каждое слагаемое (число, составленное из единиц) при делении на $3$ дает тот же остаток, что и сумма его цифр $($по признаку делимости на $3).$ Так как все цифры — единицы, то остаток от деления числа на $3$ равен остатку от деления количества его единиц на $3. $

Пусть слагаемые имеют длины $k_1, k_2, \dots, k_m$ (количество единиц в каждом числе). Тогда сумма всех чисел дает остаток от деления на $3,$ равный:

$$k_1 + k_2 + \dots + k_m$$Но это в точности общее число единиц $n,$ так как каждая единица используется ровно в одном слагаемом. 

Таким образом, сумма всех чисел и число $n$ дают одинаковые остатки при делении на $3.  $

В данном случае $n = 80,$ остаток от деления $80$ на $3$ равен $2$ $($так как $78$ делится на $3,$ $80- 78 = 2 ).$ 

Но сумма равна $150,$ а $150$ делится на $3$ без остатка $($остаток $0).  $

Получаем противоречие: остатки должны совпадать, но $2 \ne 0.$ 

Следовательно, такая сумма невозможна.

Ответ: нет.

$в)$ Пусть слагаемые — это числа, составленные из единиц. Каждое такое число имеет вид:

$$\frac{10^k- 1}{9}$$где $k$ — количество единиц. 

Обозначим через $a$ количество слагаемых $«1»$ (из одной единицы), 

через $b$ — количество слагаемых $«11»$ (из двух единиц), 

через $c$ — количество слагаемых $«111»$ (из трех единиц). 

Большие слагаемые (из более чем трех единиц) нецелесообразны, так как они «тратят» много единиц и дают большой вклад в сумму. Однако заметим, что число $«1111»$ $(4$ единицы$)$ дает вклад $1111,$ но при этом «стоит» $4$ единицы. Для получения суммы $150$ выгоднее использовать более мелкие слагаемые. Аналогично, числа из $5$ и более единиц еще менее эффективны. Поэтому ограничимся слагаемыми длиной не более $3.$

Тогда:

Общее число единиц: $n = a + 2b + 3c.$

Сумма чисел: $S = a + 11b + 111c = 150.$

Выразим $a$ из второго уравнения:

$$a = 150- 11b- 111c$$

Подставим в первое:

$$n = (150- 11b- 111c) + 2b + 3c = 150- 9b- 108c$$

Таким образом:

$$n = 150- 9b- 108c$$

Поскольку $a \geq 0,$ то:

$$150- 11b- 111c \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 11b + 111c \leq 150$$

Также $b, c$ — неотрицательные целые.

Рассмотрим возможные значения $c$:

$1.$ $c = 0$: 

   Тогда $n = 150- 9b,$ 

   $11b \leq 150 \Rightarrow b \leq 13$ $($так как $11 \cdot 14 = 154 > 150 ).  $

   Таким образом, $b = 0, 1, 2, \dots, 13.$ 

   Соответствующие $n = 150, 141, 132, \dots, 150- 9 \cdot 13 = 150- 117 = 33.$

$2.$ $c = 1$: 

   Тогда $n = 150- 9b- 108 = 42- 9b,$ 

   $11b + 111 \leq 150 \Rightarrow 11b \leq 39 \Rightarrow b \leq 3$ $($так как $11 \cdot 4 = 44 > 39 ). $

   $b = 0, 1, 2, 3.$ 

   Соответствующие $n = 42, 33, 24, 15.$

$3.$ $c = 2$: 

   Тогда $n = 150- 9b- 216 = -66- 9b,$ 

   но $n$ не может быть отрицательным. Также $11b + 222 \leq 150$ невыполнимо. 

   Таким образом, $c \geq 2$ невозможно.

Итак, возможные значения $n$:

$$n = 150, 141, 132, 123, 114, 105, 96, 87, 78, 69, 60, 51, 42, 33, 24, 15$$

Все эти значения получаются при различных $b$ и $c$ $($например, $n=15$ при $c=1, b=3$: $a = 150- 11 \cdot 3- 111 = 150- 33- 111 = 6,$ $n = 6 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 1 = 6 + 6 + 3 = 15 ).$

Ответ: $в)$ $n$ может равняться $15, 24, 33, 42, 51, 60, 69, 78, 87, 96, 105, 114, 123, 132, 141, 150.$

Итоговые ответы: 

$а)$ да; 

$б)$ нет; 

$в)$ $15, 24, 33, 42, 51, 60, 69, 78, 87, 96, 105, 114, 123, 132, 141, 150.$