20. Числа и их свойства: #210809

Обозначим сумму всех шести чисел за $ S .$ Тогда:

$ M_1 = \frac{S- a_1}{5} = 7 \Rightarrow S- a_1 = 35 \Rightarrow a_1 = S- 35 .$

$ M_2 = \frac{S- a_2}{5} = 6 \Rightarrow S- a_2 = 30 \Rightarrow a_2 = S- 30 .$

Также:

$ M_3 = \frac{S- a_3}{5} .$

Выразим $ S $ через $ a_1 $ и $ a_2 $:$$a_1 = S- 35, \quad a_2 = S- 30$$Вычитая, получим:

$$a_2- a_1 = 5$$ Так как все числа однозначные и неотрицательные, то $ 0 \leq a_1, a_2 \leq 9 .$ Тогда:

$$a_2 = a_1 + 5$$ Из $ a_2 \leq 9 $ следует $ a_1 \leq 4 ,$ а из $ a_1 \geq 0 $ следует $ a_2 \geq 5 .$

Также:$$S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = a_1 + (a_1 + 5) + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 2a_1 + 5 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6$$Но с другой стороны, $ S = a_1 + 35 ,$ поэтому:

$$a_1 + 35 = 2a_1 + 5 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 \Rightarrow a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 30- a_1  \tag{1}$$

Теперь выразим $ M_3 $:

$$M_3 = \frac{S- a_3}{5} = \frac{a_1 + 35- a_3}{5}$$

$а)$ Требуется пример, для которого $ M_3 = 6.4 .$ 

Тогда:$$\frac{a_1 + 35- a_3}{5} = 6,\!4 \Rightarrow a_1 + 35- a_3 = 32 \Rightarrow a_3 = a_1 + 3$$Так как $ a_1 \leq 4 ,$ то $ a_3 \leq 7 .$ Также из $(1)$:

$$a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 30- a_1$$Подставим $ a_3 = a_1 + 3 $:

$$ a_1 + 3 + a_4 + a_5 + a_6 = 30- a_1 \Rightarrow a_4 + a_5 + a_6 = 27- 2a_1$$Выберем $ a_1 = 4 $ (максимально возможное, чтобы числа оставались однозначными). Тогда:

 $ a_2 = a_1 + 5 = 9 ,$

 $ a_3 = a_1 + 3 = 7 ,$

 $ a_4 + a_5 + a_6 = 27- 2 \cdot 4 = 19 .$

Возьмем, например, $ a_4 = 7 ,$ $ a_5 = 6 ,$ $ a_6 = 6 .$ Проверим:

 $ S = 4 + 9 + 7 + 7 + 6 + 6 = 39 ,$

 $ M_1 = \frac{39- 4}{5} = \frac{35}{5} = 7 ,$

 $ M_2 = \frac{39- 9}{5} = \frac{30}{5} = 6 ,$

 $ M_3 = \frac{39- 7}{5} = \frac{32}{5} = 6,\!4 .$

Условия выполнены.

Ответ: $а)$ Например, последовательность $ 4, 9, 7, 7, 6, 6 .$

$б)$ Проверим, может ли $ M_3 = 5 .$ 

Тогда:$$\frac{a_1 + 35- a_3}{5} = 5 \Rightarrow a_1 + 35- a_3 = 25 \Rightarrow a_3 = a_1 + 10$$Но $ a_3 \leq 9 ,$ а $ a_1 \geq 0 ,$ поэтому $ a_1 + 10 \geq 10 ,$ что невозможно. 

Следовательно, такой последовательности не существует.

Ответ: $б)$ Нет.

$в)$ Найдем наименьшее возможное значение $ M_3 .$ 

Имеем:$$M_3 = \frac{a_1 + 35- a_3}{5}$$Чтобы минимизировать $ M_3 ,$ нужно максимизировать $ a_3 $ и минимизировать $ a_1 .$

Из условия $ a_2 = a_1 + 5 \leq 9 $ следует $ a_1 \leq 4 .$ Минимальное $ a_1 = 0 ,$ тогда $ a_2 = 5 .$ 

Максимальное $ a_3 = 9 .$

Подставим:$$M_3 = \frac{0 + 35- 9}{5} = \frac{26}{5} = 5.2$$

Проверим при $ a_1 = 0 ,$ $ a_2 = 5 ,$ $ a_3 = 9 .$ 

Из $(1)$:$$a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 30- a_1 = 30 \Rightarrow 9 + a_4 + a_5 + a_6 = 30 \Rightarrow a_4 + a_5 + a_6 = 21$$

Так как все числа однозначные, максимальная сумма трех чисел равна $27,$ но нам нужно $21.$ Например, $ a_4 = 7 ,$ $ a_5 = 7 ,$ $ a_6 = 7 .$ 

Тогда последовательность: $ 0, 5, 9, 7, 7, 7 .$ 

Проверим:

 $ S = 0 + 5 + 9 + 7 + 7 + 7 = 35 ,$

  $ M_1 = \frac{35- 0}{5} = 7 ,$

 $ M_2 = \frac{35- 5}{5} = 6 ,$

 $ M_3 = \frac{35- 9}{5} = \frac{26}{5} = 5.2 .$

Условия выполнены.

Ответ: $в)$ Наименьшее возможное значение $ M_3 $ равно $ 5.2 .$

Итоговые ответы: 
$а)$ Например, $ 4, 9, 7, 7, 6, 6 $; 
$б)$ нет; 
$в)$ $ 5.2 .$