19. Числа и их свойства: #210811

Обозначим сумму всех $ n $ чисел за $ S .$ Тогда:

— $ M_1 = \frac{S- a_1}{n-1} = 1 \Rightarrow S- a_1 = n-1 \Rightarrow a_1 = S- (n-1) .$

— $ M_2 = \frac{S- a_2}{n-1} = 2 \Rightarrow S- a_2 = 2(n-1) \Rightarrow a_2 = S- 2(n-1) .$

Вычитая, получим:

$$ a_2- a_1 = [S- 2(n-1)]- [S- (n-1)] =- (n-1) $$

Таким образом:

$$ a_1- a_2 = n-1 \tag{1} $$

Так как все числа однозначные и неотрицательные, то $ 0 \leq a_1, a_2 \leq 9 .$ Из $(1)$ следует, что $ n-1 \leq a_1 \leq 9 ,$ поэтому $ n-1 \leq 9 \Rightarrow n \leq 10 .$ Также $ a_2 = a_1- (n-1) \geq 0 .$

Теперь выразим $ M_3 $:

$$ M_3 = \frac{S- a_3}{n-1} $$

Также из выражения для $ M_1 $:

$$ S = a_1 + (n-1)$$

Подставим в выражение для $ M_3 $:

$$ M_3 = \frac{a_1 + (n-1)- a_3}{n-1} = 1 + \frac{a_1- a_3}{n-1} \tag{2} $$

$а)$ Требуется пример, для которого $ M_3 = 1.5 .$ 

Из $(2)$:

$$ 1 + \frac{a_1- a_3}{n-1} = 1.5 \Rightarrow \frac{a_1- a_3}{n-1} = 0.5 \Rightarrow a_1- a_3 = 0.5 (n-1) $$

Поскольку $ a_1 $ и $ a_3 $ целые, $ n-1 $ должно быть четным. Пусть $ n-1 = 2 ,$ то есть $ n = 3 .$ Тогда:

$$ a_1- a_3 = 1$$

Также из $(1)$: $ a_1- a_2 = n-1 = 2 \Rightarrow a_2 = a_1- 2 .$ 

Возьмем $ a_1 = 3 ,$ тогда $ a_2 = 1 ,$ $ a_3 = 2 .$ 

Проверим:

$ S = 3 + 1 + 2 = 6 ,$

$ M_1 = \frac{6- 3}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 $ — не подходит, так как должно быть $1.$

Исправим: из условия $ M_1 = 1 ,$ $ M_2 = 2 $ для $ n=3 $:

$ M_1 = \frac{S- a_1}{2} = 1 \Rightarrow S- a_1 = 2 ,$

$ M_2 = \frac{S- a_2}{2} = 2 \Rightarrow S- a_2 = 4 .$

Вычитая: $ a_2- a_1 = 2 \Rightarrow a_1 = a_2- 2 .$

Тогда $ S = a_1 + 2 = a_2- 2 + 2 = a_2 ,$ но также $ S = a_2 + 4 \Rightarrow a_2 = a_2 + 4 $ — противоречие. Значит, $ n \neq 3 .$

Попробуем $ n-1 = 4 ,$ то есть $ n = 5 .$ Тогда:

$$ a_1- a_3 = 0.5 \cdot 4 = 2 $$

Из $(1)$: $ a_1- a_2 = 4 \Rightarrow a_2 = a_1- 4 .$

Выберем $ a_1 = 6 ,$ тогда $ a_2 = 2 ,$ $ a_3 = 4 .$

Также $ S = a_1 + (n-1) = 6 + 4 = 10 .$

Остальные числа: $ a_4 + a_5 = S- (a_1 + a_2 + a_3) = 10- (6+2+4) = -2 $ — невозможно.

Увеличим $ n .$ Пусть $ n-1 = 6 ,$ $ n = 7 .$ Тогда:

$$ a_1- a_3 = 0.5 \cdot 6 = 3  $$

Из $(1)$: $ a_1- a_2 = 6 \Rightarrow a_2 = a_1- 6 .$

Выберем $ a_1 = 6 ,$ тогда $ a_2 = 0 ,$ $ a_3 = 3 .$

$ S = a_1 + 6 = 6 + 6 = 12 .$

Остальные числа: $ a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 12- (6+0+3) = 3 .$

Возьмем, например, $ a_4 = 1 ,$ $ a_5 = 1 ,$ $ a_6 = 1 ,$ $ a_7 = 0 .$

Проверим:

$ S = 6 + 0 + 3 + 1 + 1 + 1 + 0 = 12 ,$

$ M_1 = \frac{12- 6}{6} = \frac{6}{6} = 1 ,$

$ M_2 = \frac{12- 0}{6} = \frac{12}{6} = 2 ,$

$ M_3 = \frac{12- 3}{6} = \frac{9}{6} = 1.5 .$

Условия выполнены.

Ответ: $а)$ Например, последовательность $ 6, 0, 3, 1, 1, 1, 0 .$

$б)$ Проверим, может ли $ M_3 = 3 .$ 

Из $(2)$:

$$ 1 + \frac{a_1- a_3}{n-1} = 3 \Rightarrow \frac{a_1- a_3}{n-1} = 2 \Rightarrow a_1- a_3 = 2(n-1) $$

Но $ a_1 \leq 9 ,$ $ a_3 \geq 0 ,$ поэтому $ a_1- a_3 \leq 9 .$ Тогда:

$$ 2(n-1) \leq 9 \Rightarrow n-1 \leq 4.5 \Rightarrow n-1 \leq 4 \Rightarrow n \leq 5 $$

С другой стороны, из (1): $ a_1- a_2 = n-1 .$ При $ n \leq 5 ,$ $ n-1 \leq 4 ,$ поэтому $ a_1- a_2 \leq 4 .$

Но $ a_1- a_3 = 2(n-1) \geq 2 \cdot 1 = 2 $ $($при $ n \geq 2  ).$

Попробуем $ n=5 ,$ $ n-1=4 $:

$$ a_1- a_3 = 2 \cdot 4 = 8. $$

Так как $ a_1 \leq 9 ,$ $ a_3 \geq 0 ,$ возможно $ a_1=9 ,$ $ a_3=1 .$

Из $(1)$: $ a_1- a_2 = 4 \Rightarrow a_2 = 5 .$

$ S = a_1 + (n-1) = 9 + 4 = 13 .$

Остальные числа: $ a_4 + a_5 = 13- (9+5+1) = -2 $ — невозможно.

Для меньших $ n $ ситуация ухудшается. Таким образом, не существует.

Ответ: $б)$ Нет.

$в)$ Найдем наибольшее возможное значение $ M_3 .$ 

Из $(2)$:

$$ M_3 = 1 + \frac{a_1- a_3}{n-1} $$

Чтобы максимизировать $ M_3 ,$ нужно максимизировать $ a_1 $ и минимизировать $ a_3 ,$ а также минимизировать $ n-1 .$

Из $(1)$: $ a_1- a_2 = n-1 ,$ при этом $ a_2 \geq 0 ,$ поэтому $ a_1 \geq n-1 .$

Так как $ a_1 \leq 9 ,$ то $ n-1 \leq 9 .$

Максимальное $ M_3 $ будет при наименьшем $ n-1 .$ Пусть $ n-1 = 1 ,$ то есть $ n=2 .$ Тогда:

Из $(1)$: $ a_1- a_2 = 1 .$

$ M_1 = \frac{S- a_1}{1} = a_2 = 1 \Rightarrow a_2 = 1 ,$ тогда $ a_1 = 2 .$

$ M_2 = \frac{S- a_2}{1} = a_1 = 2 $ — подходит.

Тогда $ M_3 $ не определено, так как нет третьего элемента. Таким образом, $ n \geq 3 .$

Пусть $ n-1 = 2 ,$ $ n=3 .$ Тогда:

Из $(1)$: $ a_1- a_2 = 2 .$

$ M_1 = \frac{S- a_1}{2} = 1 \Rightarrow S- a_1 = 2 ,$

$ M_2 = \frac{S- a_2}{2} = 2 \Rightarrow S- a_2 = 4 .$

Вычитая: $ a_2- a_1 = 2 ,$ но из (1) $ a_1- a_2 = 2 ,$ противоречие. Значит, $ n \neq 3 .$

Пусть $ n-1 = 3 ,$ $ n=4 .$ Тогда:

Из $(1)$: $ a_1- a_2 = 3 .$

$ M_1 = \frac{S- a_1}{3} = 1 \Rightarrow S- a_1 = 3 ,$

$ M_2 = \frac{S- a_2}{3} = 2 \Rightarrow S- a_2 = 6 .$

Вычитая: $ a_2- a_1 = 3 ,$ но из (1) $ a_1- a_2 = 3 ,$ снова противоречие.

Пусть $ n-1 = 4 ,$ $ n=5 .$ Тогда:

Из $(1)$: $ a_1- a_2 = 4 .$

$ M_1 = \frac{S- a_1}{4} = 1 \Rightarrow S- a_1 = 4 ,$

$ M_2 = \frac{S- a_2}{4} = 2 \Rightarrow S- a_2 = 8 .$

Вычитая: $ a_2- a_1 = 4 ,$ но из (1) $ a_1- a_2 = 4 ,$ противоречие.

Пусть $ n-1 = 5 ,$ $ n=6 .$ Тогда:

Из $(1)$: $ a_1- a_2 = 5 .$

$ M_1 = \frac{S- a_1}{5} = 1 \Rightarrow S- a_1 = 5 ,$

$ M_2 = \frac{S- a_2}{5} = 2 \Rightarrow S- a_2 = 10 .$

Вычитая: $ a_2- a_1 = 5 ,$ что согласуется с $(1)$ $($так как $ a_1- a_2 = -5  ),$ но у нас $(1)$ дает $ a_1- a_2 = 5 .$ Противоречие.

Таким образом, условие $ (1)$ и условия на $ M_1 ,$ $ M_2 $ совместны только при $ n \geq 7 .$ Из решения п.$а)$ мы имеем пример для $ n=7 .$

Теперь максимизируем $ M_3 .$ Из (2):

$$ M_3 = 1 + \frac{a_1- a_3}{n-1}. $$

При фиксированном $ n ,$ чтобы максимизировать $ M_3 ,$ нужно максимизировать $ a_1 $ и минимизировать $ a_3 .$

Из $(1)$: $ a_1- a_2 = n-1 ,$ при этом $ a_2 \geq 0 ,$ поэтому $ a_1 \geq n-1 .$

Максимальное $ a_1 = 9 ,$ тогда $ n-1 \leq 9 .$

Минимальное $ a_3 = 0 .$

Тогда:

$$ M_3 = 1 + \frac{9- 0}{n-1} = 1 + \frac{9}{n-1}. $$

Чтобы максимизировать это выражение, нужно минимизировать $ n-1 .$ Но, как показано, минимальное $ n-1 = 6 $ $($при $ n=7  ),$ так как для меньших $ n $ условия несовместны.

Тогда:

$$ M_3 = 1 + \frac{9}{6} = 1 + 1.5 = 2.5. $$

Пример: $ n=7 ,$ $ a_1 = 9 ,$ $ a_2 = a_1- (n-1) = 9- 6 = 3 ,$ $ a_3 = 0 .$

$ S = a_1 + (n-1) = 9 + 6 = 15 .$

Остальные числа: $ a_4 + a_5 + a_6 + a_7 = 15- (9+3+0) = 3 .$

Возьмем, например, $ a_4 = 1 ,$ $ a_5 = 1 ,$ $ a_6 = 1 ,$ $ a_7 = 0 .$

Проверим:

 $ S = 9 + 3 + 0 + 1 + 1 + 1 + 0 = 15 ,$

 $ M_1 = \frac{15- 9}{6} = \frac{6}{6} = 1 ,$

 $ M_2 = \frac{15- 3}{6} = \frac{12}{6} = 2 ,$

 $ M_3 = \frac{15- 0}{6} = \frac{15}{6} = 2.5 .$

Условия выполнены.

Ответ: $в) $ Наибольшее возможное значение $ M_3 $ равно $ 2.5 .$

Итоговые ответы: 
$а)$ Например, $ 6, 0, 3, 1, 1, 1, 0 $; 
$б)$ нет; 
$в)$ $ 2.5 .$