Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
20. Числа и их свойства: #210811
Последовательность $ a_1, a_2, \dots, a_n $ состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть $ M_k $ — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме $ k $-го. Известно, что $ M_1 = 1 ,$ $ M_2 = 2 .$
$а)$ Приведите пример такой последовательности, для которой $ M_3 = 1.5 .$
$б)$ Существует ли такая последовательность, для которой $ M_3 = 3 ? $
$в)$ Найдите наибольшее возможное значение $ M_3 .$
а) Подходит последовательность $6,0,3,1,1,1,0$. Сумма ее членов равна $12$, поэтому $M_1=\frac{12-6}{6}=1$, $M_2=\frac{12-0}{6}=2$, $M_3=\frac{12-3}{6}=1.5$.
б) Да. Например, для последовательности $4,2,0$ получаем $M_1=\frac{2+0}{2}=1$, $M_2=\frac{4+0}{2}=2$, $M_3=\frac{4+2}{2}=3$.
в) Обозначим сумму всех членов через $S$. Из условий $M_1=1$ и $M_2=2$ следует:
$$S-a_1=n-1,\qquad S-a_2=2(n-1)$$
Сложим равенства:
$$3(n-1)=2S-a_1-a_2=S+(a_3+\cdots+a_n)\geq S$$
Все члены последовательности неотрицательны, поэтому:
$$M_3=\frac{S-a_3}{n-1}\leq\frac{S}{n-1}\leq3$$
Значение $3$ достигается на последовательности $4,2,0$ из пункта б). Следовательно, это наибольшее возможное значение.
Ответ: а) например, $6,0,3,1,1,1,0$; б) да; в) $3$.
20
