19. Числа и их свойства: #210814

Пусть прогрессия задается первым членом $ a $ (натуральное число) и разностью $ d $ (натуральное число или ноль). Количество членов прогрессии обозначим $ n .$ Члены прогрессии: $ a, a+d, a+2d, \dots, a+(n-1)d .$

$а)$ Для прогрессии из пяти членов $(  n = 5  )$: 

Наименьший член: $ a ,$ наибольший: $ a + 4d .$ 

Их сумма: 

$$ a + (a + 4d) = 2a + 4d = 2(a + 2d)  $$ 

Это число четное. Но $99$ — нечетное. Следовательно, такая сумма не может равняться $99.  $

Ответ: $а)$ Нет.

$б)$ Для прогрессии из шести членов $(  n = 6  )$: 

Наименьший член: $ a ,$ наибольший: $ a + 5d .$ 

Их сумма: 

$$ a + (a + 5d) = 2a + 5d = 9  \tag{1} $$ 

Так как $ a $ и $ d $ — натуральные числа $($или $ d = 0  ),$ рассмотрим возможные значения $ d $: 

 Если $ d = 0 ,$ то $ 2a = 9 ,$ $ a = 4.5 $ — не натуральное. 

 Если $ d = 1 ,$ то $ 2a + 5 = 9 \Rightarrow 2a = 4 \Rightarrow a = 2 .$ 

 Если $ d \geq 2 ,$ то $ 2a + 5d \geq 2a + 10 \geq 12 > 9 $ $($так как $ a \geq 1  )$ — невозможно. 

Таким образом, единственный вариант: $ d = 1 ,$ $ a = 2 .$ 

Члены прогрессии: 

$$ 2, 3, 4, 5, 6, 7  $$ 

Проверка: сумма наименьшего и наибольшего: $ 2 + 7 = 9 .$ 

Ответ: $б)$ $ 2, 3, 4, 5, 6, 7 .$

$в)$ Среднее арифметическое членов прогрессии равно полусумме крайних членов: 

$$ \text{Среднее} = \frac{a + (a + (n-1)d)}{2} = \frac{2a + (n-1)d}{2} = 6.5  $$ 

Отсюда: 

$$ 2a + (n-1)d = 13  \tag{2} $$ 

Так как все члены прогрессии — натуральные числа, то $ a \geq 1 ,$ $ d \geq 1 $ $($если $ d = 0 ,$ то все члены равны $ a ,$ и среднее равно $ a ,$ но $ a $ натуральное, поэтому $ a \neq 6.5 $; значит, $ d \geq 1  ). $

Из $(2)$: 

$$ (n-1)d = 13- 2a  $$ 

Так как $ a \geq 1 ,$ то $ 13- 2a \leq 11 ,$ поэтому: 

$$ (n-1)d \leq 11  $$ 

Так как $ d \geq 1 ,$ то: 

$$ n- 1 \leq 11 \Rightarrow n \leq 12  $$ 

Таким образом, прогрессия может содержать не более $12$ членов. 

Приведем пример прогрессии из $12$ натуральных чисел со средним $6.5$: 

Рассмотрим арифметическую прогрессию натуральных чисел от $1$ до $12$: 

$$ 1, 2, 3, \dots, 12 $$ 

Здесь $ a = 1 ,$ $ d = 1 ,$ $ n = 12 .$ 

Сумма крайних: $ 1 + 12 = 13 ,$ среднее: $ \frac{13}{2} = 6.5 .$ 

Ответ: $в)\ 12.$

Итоговые ответы: 
$а)$ нет; 
$б)  \ 2, 3, 4, 5, 6, 7  ;  $
$в)\ 12.$