20. Числа и их свойства: #210815

Пусть прогрессия задается первым членом $ a_1 $ (натуральное число) и разностью $ d $ (натуральное число, так как числа различные). Тогда члены прогрессии: 

$$ a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, \dots, a_1 + (n-1)d  $$ 

Сумма всех членов: 

$$ S = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n  \tag{1} $$

$а)$ Предположим, что $ S = 13 .$ Тогда из $(1)$: 

$$ \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n = 13 \quad \Rightarrow \quad (2a_1 + (n-1)d) \cdot n = 26  $$ 

Так как $ n \geq 3 ,$ то $ n $ является делителем $26.$ Делители $26$: $1, 2, 13, 26.$ Подходит только $ n = 13 $ или $ n = 26 .$ 

Но сумма $13$ различных натуральных чисел не меньше суммы $ 1 + 2 + \dots + 13 = 91 ,$ что больше $13. $ Аналогично для $ n = 26 .$ 

Следовательно, сумма не может быть равна $13.  $

Ответ: $а)$ Нет.

$б) $ Так как числа — различные натуральные, то наименьшая возможная сумма для $ n $ чисел достигается, когда это числа $ 1, 2, 3, \dots, n $: 

$$ S_{\text{min}} = \frac{n(n+1)}{2}  $$ 

По условию $ S < 500 ,$ поэтому: 

$$ \frac{n(n+1)}{2} < 500 \quad \Rightarrow \quad n(n+1) < 1000 $$ 

Подберем наибольшее $ n $: 

$ n = 31 $: $ 31 \cdot 32 = 992 < 1000 ,$ 

$ n = 32 $: $ 32 \cdot 33 = 1056 > 1000 .$ 

Таким образом, $ n \leq 31 .$ 

Пример: прогрессия $ 1, 2, 3, \dots, 31 $ имеет сумму $ \frac{31 \cdot 32}{2} = 496 < 500 .$ 

Ответ: $б)\ 31.$

$в)$ Пусть $ S = 57 .$ Тогда из $(1)$: 

$$ \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n = 57 \quad \Rightarrow \quad (2a_1 + (n-1)d) \cdot n = 114 \tag{2} $$ 

Так как $ n \geq 3 ,$ то $ n $ является делителем $114.$ Делители $114$: 

$$ 1, 2, 3, 6, 19, 38, 57, 114  $$ 

Подходят $ n = 3, 6, 19, 38, 57, 114 .$ 

Но также сумма $ n $ различных натуральных чисел не меньше $ \frac{n(n+1)}{2} .$ Поэтому: 

$$ \frac{n(n+1)}{2} \leq 57 \quad \Rightarrow \quad n(n+1) \leq 114  $$ 

Проверим возможные $ n $: 

 $ n = 3 $: $ 3 \cdot 4 = 12 \leq 114 $ — подходит. 

 $ n = 6 $: $ 6 \cdot 7 = 42 \leq 114 $ — подходит. 

 $ n = 19 $: $ 19 \cdot 20 = 380 > 114 $ — не подходит. 

 $ n = 38 $: $ 38 \cdot 39 = 1482 > 114 $ — не подходит. 

  $ n = 57 $: $ 57 \cdot 58 = 3306 > 114 $ — не подходит. 

  $ n = 114 $: $ 114 \cdot 115 = 13110 > 114 $ — не подходит. 

Таким образом, возможны только $ n = 3 $ и $ n = 6 .$ 

Проверим, можно ли подобрать прогрессию для этих $ n $: 

$1. $ $ n = 3 $: 

Из $(2)$: 

$$ (2a_1 + 2d) \cdot 3 = 114 \quad \Rightarrow \quad 2a_1 + 2d = 38 \quad \Rightarrow \quad a_1 + d = 19  $$ 

Так как числа натуральные и различные, $ d \geq 1 .$ Например, $ a_1 = 1 ,$ $ d = 18 $: прогрессия $ 1, 19, 37 ,$ сумма $ 1 + 19 + 37 = 57 .$ 

$2.$ $ n = 6 $: 

Из $(2)$: 

$$ (2a_1 + 5d) \cdot 6 = 114 \quad \Rightarrow \quad 2a_1 + 5d = 19  $$ 

Так как $ a_1 \geq 1 ,$ $ d \geq 1 ,$ возможны варианты: 

  $ d = 1 $: $ 2a_1 + 5 = 19 \Rightarrow a_1 = 7 ,$ прогрессия $ 7, 8, 9, 10, 11, 12 ,$ сумма $ 57 .$ 

  $ d = 2 $: $ 2a_1 + 10 = 19 \Rightarrow a_1 = 4.5 $ — не натуральное. 

 $ d = 3 $: $ 2a_1 + 15 = 19 \Rightarrow a_1 = 2 ,$ прогрессия $ 2, 5, 8, 11, 14, 17 ,$ сумма $ 57 .$ 

 $ d \geq 4 $: $ 2a_1 \leq 19- 20 = -1 $ — невозможно. 

Таким образом, для $ n = 6 $ тоже существуют прогрессии. 

Ответ: $в)\ 3$ и $6.$

Итоговые ответы: 
$а) $ нет; 
$б)$ $31; $
$в)$ $3, 6.$