20. Числа и их свойства: #210813

Общее среднее арифметическое всех чисел:

$$ \text{Сумма} = 8 \cdot 5 + 8 \cdot 4 + 8 \cdot 3 = 40 + 32 + 24 = 96$$ $$Среднее  = \frac{96}{24} = 4. $$

$а)$ Требуется пример, где среднее всех чисел $(4)$ меньше $ \frac{A + B}{2} .$ 

Пусть в первой группе все $8$ чисел $«5»,$ а во второй группе все $8$ чисел $«4»$ и $8$ чисел $«3».$ 

Тогда:

 $ A = \frac{8 \cdot 5}{8} = 5 ,$

 $ B = \frac{8 \cdot 4 + 8 \cdot 3}{16} = \frac{32 + 24}{16} = \frac{56}{16} = 3.5 ,$

 $ \frac{A + B}{2} = \frac{5 + 3.5}{2} = \frac{8.5}{2} = 4.25 > 4 .$

Условие выполнено.

Ответ: $а)$ Например, первая группа: все $«5»;$ вторая группа: все $ «4»$ и $«3».$

$б)$ Пусть группы содержат по $12 $ чисел. 

Обозначим:

 сумма чисел в первой группе: $ S_1 ,$

 сумма чисел во второй группе: $ S_2 .$

Тогда:

$$ A = \frac{S_1}{12}, \quad B = \frac{S_2}{12}, \quad \frac{A + B}{2} = \frac{\frac{S_1}{12} + \frac{S_2}{12}}{2} = \frac{S_1 + S_2}{24}  $$Но $ S_1 + S_2 = 96 $ (общая сумма), поэтому:

$$ \frac{A + B}{2} = \frac{96}{24} = 4  $$что равно среднему арифметическому всех чисел.

Ответ: $б)$ Доказано.

 $в)$ Найдем наибольшее возможное значение $ \frac{A + B}{2} .$ 

Заметим, что $ \frac{A + B}{2} $ зависит от разбиения. Обозначим:

 в первой группе: $ x $ чисел $«5»,$ $ y $ чисел $«4»,$ $ z $ чисел $«3»,$ всего $ n_1 = x + y + z $ чисел,

 во второй группе: $ 8- x $ чисел «5», $ 8- y $ чисел $«4»,$ $ 8- z $ чисел $«3»,$ всего $ n_2 = 24- n_1 $ чисел.

Тогда:

$$ A = \frac{5x + 4y + 3z}{n_1}, \quad B = \frac{5(8-x) + 4(8-y) + 3(8-z)}{n_2} = \frac{40- 5x + 32- 4y + 24- 3z}{n_2} = \frac{96- (5x + 4y + 3z)}{n_2}  $$

Выразим $ \frac{A + B}{2} $:

$$ \frac{A + B}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{5x + 4y + 3z}{n_1} + \frac{96- (5x + 4y + 3z)}{n_2} \right)  $$

Обозначим $ S = 5x + 4y + 3z $ — сумма чисел в первой группе. Тогда:

$$ \frac{A + B}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{S}{n_1} + \frac{96- S}{n_2} \right)  $$

Поскольку общее среднее равно $4, $ то для максимизации $ \frac{A + B}{2} $ нужно, чтобы одна группа имела среднее больше $4,$ а другая — меньше $4, $ причем разность должна быть как можно больше.

Наибольшее возможное среднее в группе — $5$ $ ($если группа состоит только из $«5»),$ наименьшее — $3$ $($если только из $«3»).$ Однако из-за ограничений на количество чисел эти крайние значения недостижимы для обеих групп одновременно.

Рассмотрим случай, когда в одной группе только одно число $«5»,$ а все остальные числа — во второй группе. 

Пусть $ n_1 = 1 ,$ $ S = 5 .$ Тогда:

$$ A = 5, \quad n_2 = 23, \quad S_2 = 96- 5 = 91, \quad B = \frac{91}{23} = 3.\frac{22}{23} = 3.9565… $$

Тогда:

$$ \frac{A + B}{2} = \frac{5 + \frac{91}{23}}{2} = \frac{5 + 3.\frac{22}{23}}{2} = \frac{8.\frac{22}{23}}{2} = 4.\frac{11}{23} \approx 4.4783  $$

Проверим, можно ли получить большее значение. 

Если взять $ n_1 = 2 $ и оба числа $«5», $ то $ S = 10 ,$ $ A = 5 ,$ $ n_2 = 22 ,$ $ S_2 = 86 ,$ $ B = \frac{86}{22} = 3.\frac{10}{11} \approx 3.9091 ,$ 

$ \frac{A + B}{2} = \frac{5 + 3.\frac{10}{11}}{2} = 4.\frac{5}{11} \approx 4.4545 < 4.4783 .$

Если взять $ n_1 = 1 $ число $«5»$ и одно число $«4»$ (чтобы увеличить $ A $), то $ n_1 = 2 ,$ $ S = 9 ,$ $ A = 4.5 ,$ $ n_2 = 22 ,$ $ S_2 = 87 ,$ $ B = \frac{87}{22} \approx 3.9545 ,$ 

$ \frac{A + B}{2} \approx \frac{4.5 + 3.9545}{2} = 4.22725 < 4.4783 .$

Таким образом, максимальное значение достигается при $ n_1 = 1 $ $($одно число $«5»),$ $ n_2 = 23 .$

Ответ: $в)$ Наибольшее возможное значение $ \frac{A + B}{2} $ равно $ 4.\frac{11}{23} .$

Итоговые ответы: 
$а)$ Например, первая группа: все $«5»;$ вторая группа: все $«4»$ и $«3»;  $
$б)$ доказано; 
$в)$ $ 4 \frac{11}{23} .$