ЕГЭ
Назад
Библиотека флеш-карточек Создать флеш-карточки
Библиотека тестов Создать тест
Математика Английский язык Тренажёры для мозга ЕГЭ Русский язык Чтение Биология Всеобщая история Окружающий мир
Классы
Темы
Математика Алгебра Геометрия ОГЭ Физика География Химия Биология Всеобщая история История России Обществознание Русский язык Литература ЕГЭ Английский язык
Подобрать занятие
Классы
Темы

12. Наибольшее и наименьшее значение функций: Исследование степенных функций

1. Задание #167247
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите наименьшее значение функции $$y=(x+3)^2(x+5)-2$$ на отрезке $[-4;-1].$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=2(x+3)(x+5)+(x+3)^2$$ $$f'(x)=(x+3)(3x+13)$$ Приравняем производную к нулю: $$(x+3)(3x+13)=0$$ $$x_1=-3$$ $$x_2=-\frac{13}{3}$$ Промежутку $[-4;-1]$ принадлежит только $x=-3.$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной на промежутке $[-4;-1]$: $f'(x)<0$ на промежутке $[-4;-3),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-3;-1].$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=-3$ — это точка минимума функции.

Найдем значение функции $y=(x+3)^2(x+5)-2$ в данной точке: $$y=(-3+3)^2(-3+5)-2=-2$$

Показать ответ
2. Задание #167250
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите наименьшее значение функции $$y=(x-7)^2(x+8)-4$$ на отрезке $[1;12].$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=2(x-7)(x+8)+(x-7)^2$$ $$f'(x)=(x-7)(2x+16+x-7)$$ $$f'(x)=(x-7)(3x+9)$$ Приравняем производную к нулю: $$(x-7)(3x+9)=0$$ $$x_1=7$$ $$x_2=-3$$ Промежутку $[1;12]$ принадлежит только $x=7.$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной на промежутке $[1;12]$: $f'(x)<0$ на промежутке $[1;7),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(7;12].$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=7$ — это точка минимума функции.

Найдем значение функции $y=(x-7)^2(x+8)-3$ в данной точке: $$y=(7-7)^2(7+8)-4=-4$$

Показать ответ
3. Задание #167418
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите точку минимума функции $y=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-2x+1.$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-2=\sqrt{x}-2$$ Приравняем производную к нулю: $$\sqrt{x}-2=0$$ $$\sqrt{x}=2$$ $$x=4$$

Функция и ее производная определены на интервале $[0;\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(4;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $[0;4).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $4$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-2x+1.$

Показать ответ
4. Задание #167420
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите точку минимума функции $y=\frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}-3x+14.$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-3=\frac{1}{2}\sqrt{x}-3$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{1}{2}\sqrt{x}-3=0$$ $$\frac{1}{2}\sqrt{x}=3$$ $$x=36$$

Функция и ее производная определены на интервале $[0;\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(36;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $[0;36).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $36$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=\frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}-3x+14.$

Показать ответ
5. Задание #167421
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите наибольшее значение функции $y=-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+3x+1$ на отрезке $[1;23].$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}+3$$ $$f'(x)=3-\sqrt{x}$$ Приравняем производную к нулю: $$3-\sqrt{x}=0$$ $$\sqrt{x}=3$$ $$x=9$$

Функция и ее производная определены на интервале $[0;\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $[0;9),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(9;\infty).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $9$ — это точка максимума функции на данном промежутке.

Найдем значение функции $y=-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+3x+1$ в данной точке: $$y=-\frac{2}{3}\cdot 9^{\frac{3}{2}}+3\cdot 9+1=10$$

Показать ответ
6. Задание #167422
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите наибольшее значение функции $y=-\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}+12x+20$ на отрезке $[36;43].$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}+12$$ $$f'(x)=12-2\sqrt{x}$$ Приравняем производную к нулю: $$12-2\sqrt{x}=0$$ $$2\sqrt{x}=12$$ $$x=36$$

Функция и ее производная определены на интервале $[0;\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $[0;36),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(36;\infty).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $36$ — это точка максимума функции на данном промежутке.

Найдем значение функции $y=-\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}+12x+20$ в данной точке: $$y=-\frac{4}{3} \cdot 36^{\frac{3}{2}}+12 \cdot 36+20=164$$

Показать ответ
7. Задание #167479
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите точку минимума функции $y=x^3-48x+17.$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=3x^2-48$$ Приравняем производную к нулю: $$3x^2-48=0$$ $$x^2-16=0$$ $$x_1=4$$ $$x_2=-4$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(-\infty;-4)\cup(4;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(-4;-4).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $4$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=x^3-48x+17.$

Показать ответ
8. Задание #167481
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите точку минимума функции $y=x^3-588x-17.$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=3x^2-588$$ Приравняем производную к нулю: $$3x^2-588=0$$ $$x^2-196=0$$ $$x_1=14$$ $$x_2=-14$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(-\infty;-14)\cup(14;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(-14;-14).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $14$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=x^3-588x-17.$

Показать ответ
9. Задание #167482
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите наибольшее значение функции $y=9x^2-x^3$ на отрезке $[2;10].$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=18x-3x^2$$ Приравняем производную к нулю: $$18x-3x^2=0$$ $$6x-x^2=0$$ $$x_1=0$$ $$x_2=6$$ На отрезке $[2;10]$ лежит только точка $x=6.$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(-\infty;0)\cup(6;\infty),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(0;6).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $6$ — это точка максимума функции на данном промежутке.

Найдем значение функции $y=9x^2-x^3$ в данной точке: $$y=9\cdot 6^2-6^3=108$$

Показать ответ
10. Задание #167483
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите наибольшее значение функции $y=-24x^2-x^3+4$ на отрезке $[-3;2].$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-48x-3x^2$$ Приравняем производную к нулю: $$-48x-3x^2=0$$ $$-16x-x^2=0$$ $$x_1=0$$ $$x_2=-16$$ На отрезке $[-3;2]$ лежит только точка $x=0.$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(-\infty;-16)\cup(0;\infty),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-16;0).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $0$ — это точка максимума функции на данном промежутке.

Найдем значение функции $y=-24x^2-x^3+4$ в данной точке: $$y=-24\cdot 0^2-0^3+4=4$$

Показать ответ
11. Задание #167484
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите точку максимума функции $y=x^3+2x^2+x+3.$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=3x^2+4x+1$$ Приравняем производную к нулю: $$3x^2+4x+1=0$$ $$x_1=-1$$ $$x_2=-\frac{1}{3}$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(-\infty;-1)\cup(-\frac{1}{3};\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(-1;-\frac{1}{3}).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=-1$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=x^3+2x^2+x+3.$

Показать ответ
12. Задание #167485
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите точку максимума функции $y=x^3-5x^2+7x-5.$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=3x^2-10x+7$$ Приравняем производную к нулю: $$3x^2-10x+7=0$$ $$x_1=1$$ $$x_2=2\frac{1}{3}$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(-\infty;1)\cup(2\frac{1}{3};\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(1;2\frac{1}{3}).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=1$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=x^3-5x^2+7x-5.$

Показать ответ
13. Задание #167486
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите точку минимума функции $y=-\frac{x^2+1}{x}.$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-1+\frac{1}{x^2}$$ Приравняем производную к нулю: $$-1+\frac{1}{x^2}=0$$ $$\frac{1}{x^2}=1$$ $$x^2=1$$ $$x_1=1$$ $$x_2=-1$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(-\infty;-1)\cup(1;\infty),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-1;1).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=-1$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=-\frac{x^2+1}{x}.$

Показать ответ
14. Задание #167487
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите точку минимума функции $y=-\frac{x^2+441}{x}.$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-1+\frac{441}{x^2}$$ Приравняем производную к нулю: $$-1+\frac{441}{x^2}=0$$ $$\frac{441}{x^2}=1$$ $$x^2=441$$ $$x_1=21$$ $$x_2=-21$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(-\infty;-21)\cup(21;\infty),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-21;21).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=-21$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=-\frac{x^2+441}{x}.$

Показать ответ
Получить ещё подсказку

Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

Верно! Посмотрите пошаговое решение