12. Наибольшее и наименьшее значение функций: Исследование степенных функций

Найдем значение функции $y=(x+3)^2(x+5)-2$ в данной точке: $$y=(-3+3)^2(-3+5)-2=-2$$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=2(x-7)(x+8)+(x-7)^2$$ $$f'(x)=(x-7)(2x+16+x-7)$$ $$f'(x)=(x-7)(3x+9)$$ Приравняем производную к нулю: $$(x-7)(3x+9)=0$$ $$x_1=7$$ $$x_2=-3$$ Промежутку $[1;12]$ принадлежит только $x=7.$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной на промежутке $[1;12]$: $f'(x)<0$ на промежутке $[1;7),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(7;12].$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=7$ — это точка минимума функции.

Найдем значение функции $y=(x-7)^2(x+8)-3$ в данной точке: $$y=(7-7)^2(7+8)-4=-4$$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-2=\sqrt{x}-2$$ Приравняем производную к нулю: $$\sqrt{x}-2=0$$ $$\sqrt{x}=2$$ $$x=4$$

Функция и ее производная определены на интервале $[0;\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(4;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $[0;4).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $4$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-2x+1.$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-3=\frac{1}{2}\sqrt{x}-3$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{1}{2}\sqrt{x}-3=0$$ $$\frac{1}{2}\sqrt{x}=3$$ $$x=36$$

Функция и ее производная определены на интервале $[0;\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(36;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $[0;36).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $36$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=\frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}-3x+14.$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}+3$$ $$f'(x)=3-\sqrt{x}$$ Приравняем производную к нулю: $$3-\sqrt{x}=0$$ $$\sqrt{x}=3$$ $$x=9$$

Функция и ее производная определены на интервале $[0;\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $[0;9),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(9;\infty).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $9$ — это точка максимума функции на данном промежутке.

Найдем значение функции $y=-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+3x+1$ в данной точке: $$y=-\frac{2}{3}\cdot 9^{\frac{3}{2}}+3\cdot 9+1=10$$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}+12$$ $$f'(x)=12-2\sqrt{x}$$ Приравняем производную к нулю: $$12-2\sqrt{x}=0$$ $$2\sqrt{x}=12$$ $$x=36$$

Функция и ее производная определены на интервале $[0;\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $[0;36),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(36;\infty).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $36$ — это точка максимума функции на данном промежутке.

Найдем значение функции $y=-\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}+12x+20$ в данной точке: $$y=-\frac{4}{3} \cdot 36^{\frac{3}{2}}+12 \cdot 36+20=164$$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=3x^2-48$$ Приравняем производную к нулю: $$3x^2-48=0$$ $$x^2-16=0$$ $$x_1=4$$ $$x_2=-4$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(-\infty;-4)\cup(4;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(-4;-4).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $4$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=x^3-48x+17.$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=3x^2-588$$ Приравняем производную к нулю: $$3x^2-588=0$$ $$x^2-196=0$$ $$x_1=14$$ $$x_2=-14$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(-\infty;-14)\cup(14;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(-14;-14).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $14$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=x^3-588x-17.$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=18x-3x^2$$ Приравняем производную к нулю: $$18x-3x^2=0$$ $$6x-x^2=0$$ $$x_1=0$$ $$x_2=6$$ На отрезке $[2;10]$ лежит только точка $x=6.$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(-\infty;0)\cup(6;\infty),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(0;6).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $6$ — это точка максимума функции на данном промежутке.

Найдем значение функции $y=9x^2-x^3$ в данной точке: $$y=9\cdot 6^2-6^3=108$$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-48x-3x^2$$ Приравняем производную к нулю: $$-48x-3x^2=0$$ $$-16x-x^2=0$$ $$x_1=0$$ $$x_2=-16$$ На отрезке $[-3;2]$ лежит только точка $x=0.$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(-\infty;-16)\cup(0;\infty),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-16;0).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $0$ — это точка максимума функции на данном промежутке.

Найдем значение функции $y=-24x^2-x^3+4$ в данной точке: $$y=-24\cdot 0^2-0^3+4=4$$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=3x^2+4x+1$$ Приравняем производную к нулю: $$3x^2+4x+1=0$$ $$x_1=-1$$ $$x_2=-\frac{1}{3}$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(-\infty;-1)\cup(-\frac{1}{3};\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(-1;-\frac{1}{3}).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=-1$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=x^3+2x^2+x+3.$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=3x^2-10x+7$$ Приравняем производную к нулю: $$3x^2-10x+7=0$$ $$x_1=1$$ $$x_2=2\frac{1}{3}$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(-\infty;1)\cup(2\frac{1}{3};\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $(1;2\frac{1}{3}).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=1$ — это и есть искомая точка максимума функции $y=x^3-5x^2+7x-5.$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-1+\frac{1}{x^2}$$ Приравняем производную к нулю: $$-1+\frac{1}{x^2}=0$$ $$\frac{1}{x^2}=1$$ $$x^2=1$$ $$x_1=1$$ $$x_2=-1$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(-\infty;-1)\cup(1;\infty),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-1;1).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=-1$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=-\frac{x^2+1}{x}.$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-1+\frac{441}{x^2}$$ Приравняем производную к нулю: $$-1+\frac{441}{x^2}=0$$ $$\frac{441}{x^2}=1$$ $$x^2=441$$ $$x_1=21$$ $$x_2=-21$$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(-\infty;-21)\cup(21;\infty),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-21;21).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=-21$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=-\frac{x^2+441}{x}.$