12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #167483

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-48x-3x^2$$ Приравняем производную к нулю: $$-48x-3x^2=0$$ $$-16x-x^2=0$$ $$x_1=0$$ $$x_2=-16$$ На отрезке $[-3;2]$ лежит только точка $x=0.$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(-\infty;-16)\cup(0;\infty),$ $f'(x)>0$ на промежутке $(-16;0).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $0$ — это точка максимума функции на данном промежутке.

Найдем значение функции $y=-24x^2-x^3+4$ в данной точке: $$y=-24\cdot 0^2-0^3+4=4$$